Страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Вспомните из курса математики 5—6-го классов правила действий с обыкновенными дробями. Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

На обычном языке: Чтобы сложить (или вычесть) две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (или вычесть) их числители, а знаменатель оставить без изменений.

На математическом языке: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ и $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.

Ответ:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

На обычном языке: Чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, которое и будет новым общим знаменателем. Затем числитель и знаменатель каждой дроби умножают на дополнительный множитель. После этого выполняют сложение (или вычитание) дробей по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями.

На математическом языке: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$.

Ответ:

Умножение дробей

На обычном языке: Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители — это будет числитель результата, и перемножить их знаменатели — это будет знаменатель результата.

На математическом языке: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

Ответ:

Деление дробей

На обычном языке: Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить делимое (первую дробь) на дробь, обратную делителю (второй дроби). Дробь, обратная данной, получается заменой ее числителя и знаменателя местами.

На математическом языке: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$ (при условии, что $b, c, d \neq 0$).

Ответ:

2. Вспомните из курса математики 5—6-го классов правила действий с положительными и отрицательными числами. Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык.

Ниже приведены правила действий с положительными и отрицательными числами, сформулированные на обычном языке и переведенные на математический язык.

Сложение

Сложение двух отрицательных чисел
На обычном языке: Чтобы сложить два отрицательных числа, необходимо сложить их модули (числа, взятые без знака) и перед полученным результатом поставить знак «минус».
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $(-a) + (-b) = -(a + b)$.

Сложение чисел с разными знаками
На обычном языке: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и перед полученной разностью поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше. Если модули равны, то сумма равна нулю.
На математическом языке: Пусть $a > 0$ и $b > 0$.
Если $a > b$, то $a + (-b) = a - b$.
Если $b > a$, то $a + (-b) = -(b - a)$.
Если $a = b$, то $a + (-a) = 0$.

Ответ: Правила сложения определяются знаками слагаемых. При сложении чисел с одинаковыми знаками их модули складываются, а знак сохраняется. При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитается меньший, а знак результата совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль.

Вычитание

На обычном языке: Чтобы из одного числа вычесть другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
На математическом языке: Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство: $a - b = a + (-b)$.
Это правило позволяет свести операцию вычитания к операции сложения. Например, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного: $a - (-b) = a + b$.

Ответ: Правило вычитания заключается в замене этой операции на сложение с числом, противоположным вычитаемому, что позволяет далее применять правила сложения.

Умножение

Умножение чисел с разными знаками
На обычном языке: Произведение двух чисел с разными знаками — это отрицательное число. Чтобы найти его, нужно перемножить модули сомножителей и перед результатом поставить знак «минус».
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$: $a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$.

Умножение двух отрицательных чисел
На обычном языке: Произведение двух отрицательных чисел — это положительное число, равное произведению их модулей.
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$: $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

Ответ: Знак произведения зависит от знаков сомножителей: «плюс» на «минус» дает «минус», а «минус» на «минус» дает «плюс». Модуль произведения всегда равен произведению модулей сомножителей.

Деление

Правила определения знака для частного полностью аналогичны правилам для произведения.

Деление чисел с разными знаками
На обычном языке: Частное от деления двух чисел с разными знаками — это отрицательное число. Чтобы найти его модуль, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$): $a : (-b) = -(a : b)$.

Деление двух отрицательных чисел
На обычном языке: Частное от деления двух отрицательных чисел — это положительное число, равное частному от деления их модулей.
На математическом языке: Для любых положительных чисел $a$ и $b$ (где $b \neq 0$): $(-a) : (-b) = a : b$.

Ответ: Знак частного определяется так же, как и знак произведения: при делении чисел с разными знаками результат отрицательный, а при делении чисел с одинаковыми знаками — положительный. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

3. Запишите на математическом языке: из суммы чисел 3 и 8 вычесть произведение чисел 7 и 12.

$(3+8) - (7 \times 12)$

Для того чтобы записать данное выражение на математическом языке, необходимо разбить его на составные части и перевести каждую из них в соответствующую математическую операцию.

1. Первая часть фразы — «сумма чисел 3 и 8». На языке математики это операция сложения, которая записывается как $3 + 8$. Поскольку из всей этой суммы будет производиться вычитание, мы должны рассматривать ее как единое целое. Для этого сумму заключают в скобки: $(3 + 8)$.

2. Вторая часть фразы — «произведение чисел 7 и 12». Это операция умножения, которая записывается как $7 \cdot 12$.

3. Основное действие, которое связывает эти две части, — «из ... вычесть ...». Это означает, что из результата первой операции (суммы) нужно вычесть результат второй операции (произведения).

Соединив все части, мы получаем итоговое математическое выражение:

$(3 + 8) - 7 \cdot 12$

Стоит отметить, что по правилам порядка выполнения арифметических действий, умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания. Поэтому скобки вокруг произведения $7 \cdot 12$ не являются обязательными, и запись верна. Запись $(3 + 8) - (7 \cdot 12)$ также корректна и, возможно, более наглядно отражает структуру исходной фразы.

Хотя в задании этого не требуется, можно также найти числовое значение этого выражения:

$ (3 + 8) - 7 \cdot 12 = 11 - 84 = -73 $

Ответ: $(3 + 8) - 7 \cdot 12$

4. Запишите на математическом языке: чтобы умножить число $m$ на сумму чисел $n$ и $k$, надо число $m$ умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. О каком законе идёт речь?

Запись на математическом языке:

$m(n+k) = mn + mk$

Данное правило описывает, как умножить число на сумму. На математическом языке это записывается в виде тождества. Левая часть "умножить число m на сумму чисел n и k" выглядит как $m \cdot (n + k)$. Правая часть "число m умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить" выглядит как $m \cdot n + m \cdot k$. Объединив обе части, получаем следующую формулу:
$m \cdot (n + k) = m \cdot n + m \cdot k$

Это равенство является формулировкой распределительного (дистрибутивного) закона умножения относительно сложения. Этот закон является одним из основных свойств арифметических операций.

Ответ: $m \cdot (n + k) = m \cdot n + m \cdot k$; распределительный закон умножения относительно сложения.

5. Запишите на математическом языке: чтобы умножить число $p$ на разность чисел $q$ и $t$, надо число $p$ умножить сначала на уменьшаемое, затем на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе. О каком законе идёт речь?

Запишите на математическом языке

Чтобы перевести данное утверждение на математический язык, разобьем его на части.

1. Фраза «умножить число $p$ на разность чисел $q$ и $t$» математически записывается как произведение числа $p$ на выражение в скобках, где находится разность: $p \cdot (q - t)$.

2. Фраза «надо число $p$ умножить сначала на уменьшаемое, затем на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе» описывает другую последовательность действий. В разности $q - t$ число $q$ является уменьшаемым, а число $t$ — вычитаемым.

• Умножение $p$ на уменьшаемое: $p \cdot q$.
• Умножение $p$ на вычитаемое: $p \cdot t$.
• Вычитание второго произведения из первого: $p \cdot q - p \cdot t$.

Утверждение гласит, что результат выполнения первой последовательности действий равен результату второй. Таким образом, мы можем приравнять два полученных выражения.

Ответ: $p \cdot (q - t) = p \cdot q - p \cdot t$

О каком законе идёт речь?

Полученное равенство $p \cdot (q - t) = p \cdot q - p \cdot t$ является математической формулировкой распределительного (или дистрибутивного) закона умножения относительно вычитания. Этот закон гласит, что для умножения числа на разность можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

Ответ: Речь идёт о распределительном законе умножения.

Перейдите от словесной модели к математической:

3.1 a) Произведение чисел $x$ и $y$ равно 9; $xy = 9$

б) частное от деления числа $a$ на число $b$ равно 2; $\frac{a}{b} = 2$

в) числа $b$ и $c$ равны; $b = c$

г) числа $2p$ и $3q$ равны. $2p = 3q$

а) Словесная модель «произведение чисел x и y равно 9» означает, что результат умножения числа $x$ на число $y$ составляет 9. В математике операция умножения обозначается точкой (·) или просто записывается подряд, а равенство — знаком «=». Таким образом, мы получаем математическое равенство.
Математическая модель: $x \cdot y = 9$.
Ответ: $x \cdot y = 9$

б) Словесная модель «частное от деления числа a на число b равно 2» означает, что результат деления числа $a$ (делимое) на число $b$ (делитель) равен 2. В алгебре частное принято записывать в виде дроби, где делимое находится в числителе, а делитель — в знаменателе.
Математическая модель: $\frac{a}{b} = 2$.
Ответ: $\frac{a}{b} = 2$

в) Словесная модель «числа b и c равны» является прямым указанием на то, что значения этих двух чисел совпадают. В математической записи это выражается через знак равенства «=», который ставится между этими числами.
Математическая модель: $b = c$.
Ответ: $b = c$

г) Словесная модель «числа 2p и 3q равны» утверждает, что два выражения, $2p$ (произведение числа 2 и числа $p$) и $3q$ (произведение числа 3 и числа $q$), имеют одинаковые значения. Это записывается в виде математического равенства между двумя этими выражениями.
Математическая модель: $2p = 3q$.
Ответ: $2p = 3q$

3.2 а) Число $a$ на 18 больше числа $b$;

б) число $b$ на 39 меньше числа $c$;

в) число $x$ в 6 раз больше числа $y$;

г) число $a$ в 29 раз меньше числа $b$.

а) Утверждение "число $a$ на 18 больше числа $b$" означает, что разность между числом $a$ и числом $b$ равна 18. Это можно записать в виде математического равенства. Если $a$ больше $b$, то их разность $a - b$ будет положительной.
Таким образом, получаем уравнение: $a - b = 18$.
Это также можно записать в виде: $a = b + 18$.
Ответ: $a - b = 18$

б) Утверждение "число $b$ на 39 меньше числа $c$" означает, что число $c$ больше числа $b$ на 39. Следовательно, разность между большим числом $c$ и меньшим числом $b$ равна 39.
Запишем это в виде уравнения: $c - b = 39$.
Эквивалентная форма записи: $b = c - 39$.
Ответ: $c - b = 39$

в) Утверждение "число $x$ в 6 раз больше числа $y$" означает, что для получения числа $x$ необходимо число $y$ умножить на 6. Отношение "в ... раз больше" выражается через умножение или деление.
Это можно записать как: $x = 6 \cdot y$ или $x = 6y$.
Также это означает, что частное от деления $x$ на $y$ равно 6: $\frac{x}{y} = 6$.
Ответ: $x = 6y$

г) Утверждение "число $a$ в 29 раз меньше числа $b$" означает, что число $b$ в 29 раз больше числа $a$. То есть, чтобы получить большее число $b$, нужно меньшее число $a$ умножить на 29.
Это записывается в виде равенства: $b = 29 \cdot a$ или $b = 29a$.
Другой способ записи — через деление: $a = \frac{b}{29}$.
Ответ: $b = 29a$

3.3 а) Сумма чисел a и b равна 43; $a+b=43$

б) разность чисел m и n равна 214; $m-n=214$

в) сумма чисел a и b на 6 меньше их произведения; $a+b=ab-6$

г) разность чисел p и q на 17 больше их частного. $p-q=\frac{p}{q}+17$

а) Условие «Сумма чисел $a$ и $b$ равна 43» означает, что результат сложения этих чисел ($a+b$) равен 43. Это записывается в виде следующего уравнения.
Ответ: $a + b = 43$

б) Условие «разность чисел $m$ и $n$ равна 214» означает, что результат вычитания одного числа из другого ($m-n$) равен 214. Это записывается в виде следующего уравнения.
Ответ: $m - n = 214$

в) Сумма чисел $a$ и $b$ – это $a+b$. Их произведение – это $a \cdot b$ (или $ab$). Условие, что сумма «на 6 меньше» их произведения, означает, что сумма равна произведению, из которого вычли 6. Это можно записать как уравнение.
Ответ: $a + b = ab - 6$

г) Разность чисел $p$ и $q$ – это $p-q$. Их частное – это $\frac{p}{q}$. Условие, что разность «на 17 больше» их частного, означает, что разность равна частному, к которому прибавили 17. При этом необходимо учесть, что делитель не может быть равен нулю, то есть $q \ne 0$.
Ответ: $p - q = \frac{p}{q} + 17$

3.4 Для чисел $a, b, c, d$:

a) сумма первых двух чисел равна разности четвёртого и третьего чисел; $a+b = d-c$

б) разность первого и четвёртого чисел равна сумме второго и третьего чисел; $a-d = b+c$

в) первое число равно сумме трёх остальных; $a = b+c+d$

г) сумма первых двух чисел равна удвоенной разности двух последних. $a+b = 2(d-c)$

а)

Данное условие гласит, что сумма первых двух чисел (a и b) равна разности четвёртого (d) и третьего (c) чисел.
Сумма первых двух чисел записывается как $a + b$.
Разность четвёртого и третьего чисел записывается как $d - c$.
Приравнивая эти выражения, получаем искомое уравнение.

Ответ: $a + b = d - c$

б)

Это условие утверждает, что разность первого (a) и четвёртого (d) чисел равна сумме второго (b) и третьего (c) чисел.
Разность первого и четвёртого чисел записывается как $a - d$.
Сумма второго и третьего чисел записывается как $b + c$.
Составляем уравнение, приравнивая эти два выражения.

Ответ: $a - d = b + c$

в)

Здесь говорится, что первое число (a) равно сумме трёх остальных чисел (b, c, и d).
Первое число — это a.
Сумма трёх остальных чисел записывается как $b + c + d$.
Следовательно, уравнение, выражающее данное условие, выглядит так.

Ответ: $a = b + c + d$

г)

Условие "сумма первых двух чисел равна удвоенной разности двух последних" можно записать в виде уравнения следующим образом:
- Сумма первых двух чисел (a и b) — это $a + b$.
- Два последних числа — это c и d. Их разность, как правило, записывается в порядке их следования, то есть разность четвёртого и третьего: $d - c$.
- Удвоенная разность означает, что мы умножаем эту разность на 2: $2(d - c)$.
Приравнивая сумму и удвоенную разность, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $a + b = 2(d - c)$

3.5 Изобразите графическую модель ситуации и запишите на математическом языке, чему равно расстояние между точками $a$ и $b$:

a) На координатной прямой точка $a$ расположена левее точки $b$;

б) на координатной прямой точка $a$ расположена правее точки $b$.

а) На координатной прямой точка a расположена левее точки b

Графическая модель ситуации, когда точка a расположена левее точки b (то есть имеет меньшую координату), изображена на координатной прямой ниже:

На математическом языке условие, что точка a расположена левее точки b, записывается с помощью неравенства: $a < b$.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Обозначим искомое расстояние буквой $d$. Тогда общая формула для нахождения расстояния: $d = |b - a|$.

Так как по условию $a < b$, то разность $b - a$ будет положительным числом, то есть $b - a > 0$. Модуль положительного числа равен самому этому числу. Следовательно, мы можем убрать знак модуля:

$d = |b - a| = b - a$.

Ответ: $b - a$

б) на координатной прямой точка a расположена правее точки b

Графическая модель ситуации, когда точка a расположена правее точки b (то есть имеет большую координату), изображена на координатной прямой ниже:

На математическом языке условие, что точка a расположена правее точки b, записывается с помощью неравенства: $a > b$.

Расстояние между точками $d$ по-прежнему вычисляется по общей формуле: $d = |a - b|$.

Так как по условию $a > b$, то разность $a - b$ будет положительным числом, то есть $a - b > 0$. Модуль положительного числа равен самому этому числу. Следовательно, мы можем убрать знак модуля:

$d = |a - b| = a - b$.

Ответ: $a - b$