Страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.27 Купили арбуз массой 6 кг по цене $x$ р. за 1 кг и дыню массой 4 кг по цене $y$ р. за 1 кг.

а) Сколько рублей заплатили за арбуз?

б) Сколько рублей заплатили за дыню?

в) Сколько рублей стоила вся покупка?

г) На сколько рублей больше заплатили за дыню, чем за арбуз?

а) Сколько рублей заплатили за арбуз?

Для того чтобы рассчитать стоимость арбуза, необходимо умножить его массу на цену за один килограмм. Масса арбуза равна 6 кг. Цена за 1 кг арбуза составляет $x$ рублей. Таким образом, стоимость арбуза вычисляется по формуле: $Стоимость = Масса \times Цена$ $Стоимость_{арбуза} = 6 \cdot x = 6x$ (рублей).

Ответ: $6x$ рублей.

б) Сколько рублей заплатили за дыню?

Стоимость дыни рассчитывается аналогично стоимости арбуза: её масса умножается на цену за один килограмм. Масса дыни равна 4 кг. Цена за 1 кг дыни составляет $y$ рублей. Вычисляем стоимость дыни: $Стоимость_{дыни} = 4 \cdot y = 4y$ (рублей).

Ответ: $4y$ рублей.

в) Сколько рублей стоила вся покупка?

Общая стоимость покупки представляет собой сумму стоимостей арбуза и дыни. Из предыдущих пунктов мы знаем, что стоимость арбуза — $6x$ рублей, а стоимость дыни — $4y$ рублей. Чтобы найти общую стоимость, сложим эти два значения: $Общая \ стоимость = Стоимость_{арбуза} + Стоимость_{дыни} = 6x + 4y$ (рублей).

Ответ: $(6x + 4y)$ рублей.

г) На сколько рублей больше заплатили за дыню, чем за арбуз?

Чтобы найти, на сколько одна сумма больше другой, нужно из большей суммы вычесть меньшую. В данном случае, нужно из стоимости дыни вычесть стоимость арбуза. Стоимость дыни — $4y$ рублей. Стоимость арбуза — $6x$ рублей. Находим разницу в стоимости: $Разница = Стоимость_{дыни} - Стоимость_{арбуза} = 4y - 6x$ (рублей). Это выражение показывает разницу в цене.

Ответ: на $(4y - 6x)$ рублей.

3.28 Две бригады работали на уборке урожая. Первая бригада убрала урожай с 5 га по $x$ ц с 1 га, а вторая — с 6 га, убирая с каждого гектара на 10 ц меньше.

а) Сколько центнеров с 1 га убирала вторая бригада?

б) Сколько всего центнеров убрала первая бригада?

в) Сколько всего центнеров убрала вторая бригада?

г) Сколько центнеров убрали обе бригады вместе?

а) Сколько центнеров с 1 га убирала вторая бригада?

По условию, первая бригада убирала $x$ центнеров с 1 гектара. Вторая бригада убирала с каждого гектара на 10 центнеров меньше, чем первая. Следовательно, чтобы найти урожайность второй бригады, нужно из урожайности первой вычесть 10.

Математическое выражение для урожайности второй бригады: $x - 10$ (ц/га).

Ответ: вторая бригада убирала $(x - 10)$ центнеров с 1 га.

б) Сколько всего центнеров убрала первая бригада?

Первая бригада убрала урожай с 5 гектаров, и с каждого гектара она собирала по $x$ центнеров. Чтобы найти общее количество собранного урожая, нужно умножить площадь на урожайность.

Общий сбор первой бригады: $5 \times x = 5x$ (ц).

Ответ: первая бригада убрала всего $5x$ центнеров.

в) Сколько всего центнеров убрала вторая бригада?

Вторая бригада убрала урожай с 6 гектаров. Как мы выяснили в пункте (а), урожайность второй бригады составляет $(x - 10)$ центнеров с гектара. Чтобы найти общее количество собранного урожая, нужно умножить площадь на урожайность.

Общий сбор второй бригады: $6 \times (x - 10) = 6x - 60$ (ц).

Ответ: вторая бригада убрала всего $6(x - 10)$ центнеров.

г) Сколько центнеров убрали обе бригады вместе?

Чтобы найти, сколько всего центнеров убрали обе бригады, нужно сложить урожай, собранный первой бригадой, и урожай, собранный второй бригадой.

Общий сбор = (сбор первой бригады) + (сбор второй бригады)

Подставим выражения из пунктов (б) и (в):

$5x + 6(x - 10)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5x + 6x - 60 = 11x - 60$ (ц).

Ответ: обе бригады вместе убрали $(11x - 60)$ центнеров.

3.29 Теплоход расстояние между двумя пристанями проходит по течению реки за 3 ч, а против течения — за 3,5 ч. Собственная скорость теплохода $v$ км/ч, а скорость течения реки $x$ км/ч.

а) Чему равна скорость теплохода по течению и против течения реки?

б) Какое расстояние теплоход проплыл по течению?

в) Какое расстояние теплоход проплыл против течения?

г) Сравните расстояние, пройденное теплоходом по течению реки и против течения реки. Результат сравнения запишите в виде математической модели.

а) Чему равна скорость теплохода по течению и против течения реки?

Пусть $v$ км/ч — собственная скорость теплохода, а $x$ км/ч — скорость течения реки.
Когда теплоход движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения. Скорость по течению равна: $v_{по\;теч.} = v + x$ (км/ч).
Когда теплоход движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Скорость против течения равна: $v_{против\;теч.} = v - x$ (км/ч).

Ответ: Скорость теплохода по течению реки равна $(v + x)$ км/ч, а против течения — $(v - x)$ км/ч.

б) Какое расстояние теплоход проплыл по течению?

Расстояние вычисляется по формуле $S = V \times t$, где $V$ — скорость, а $t$ — время.
По течению теплоход двигался 3 часа со скоростью $(v + x)$ км/ч.
Расстояние, пройденное по течению: $S_{по\;теч.} = (v + x) \times 3 = 3(v + x)$ (км).

Ответ: $3(v + x)$ км.

в) Какое расстояние теплоход проплыл против течения?

Против течения теплоход двигался 3,5 часа со скоростью $(v - x)$ км/ч.
Расстояние, пройденное против течения: $S_{против\;теч.} = (v - x) \times 3.5 = 3.5(v - x)$ (км).

Ответ: $3.5(v - x)$ км.

г) Сравните расстояние, пройденное теплоходом по течению реки и против течения реки. Результат сравнения запишите в виде математической модели.

В условии сказано, что теплоход проходит расстояние между двумя пристанями, сначала в одну сторону (по течению), а затем в обратную (против течения). Это означает, что расстояния, пройденные в обоих направлениях, равны.
Следовательно, расстояние по течению равно расстоянию против течения: $S_{по\;теч.} = S_{против\;теч.}$
Подставим выражения для расстояний, полученные в пунктах б) и в): $3(v + x) = 3.5(v - x)$.
Это и есть математическая модель, связывающая данные величины.

Ответ: $3(v + x) = 3.5(v - x)$.

Придумайте задачу по данной математической модели:

3.30

а) $x = y;$

б) $a = 2b;$

в) $3c = 2d;$

г) $6m = 11n.$

Задача: У Пети в коллекции $x$ марок, а у Коли — $y$ марок. Число марок у мальчиков одинаковое. Составьте математическую модель для этой ситуации.

Решение: Пусть $x$ — количество марок у Пети, а $y$ — количество марок у Коли. Согласно условию задачи, эти количества равны. Следовательно, математическая модель, описывающая данное условие, будет иметь вид равенства: $x = y$.

Ответ: $x = y$.

Задача: Для посадки в саду купили $a$ саженцев яблонь и $b$ саженцев груш. Яблонь купили в два раза больше, чем груш. Составьте математическую модель, связывающую количество саженцев яблонь и груш.

Решение: Пусть $a$ — количество саженцев яблонь, а $b$ — количество саженцев груш. По условию, саженцев яблонь в два раза больше, чем саженцев груш. Это можно записать в виде уравнения: $a = 2 \cdot b$.

Ответ: $a = 2b$.

Задача: Карандаш стоит $c$ рублей, а ручка — $d$ рублей. Известно, что 3 карандаша стоят столько же, сколько 2 ручки. Составьте уравнение, отражающее это условие.

Решение: Стоимость 3 карандашей равна произведению цены одного карандаша ($c$) на их количество (3), то есть $3c$. Стоимость 2 ручек равна произведению цены одной ручки ($d$) на их количество (2), то есть $2d$. Так как эти стоимости равны, получаем уравнение: $3c = 2d$.

Ответ: $3c = 2d$.

Задача: Первый токарь, производительность которого $m$ деталей в час, работал 6 часов. Второй токарь, производительность которого $n$ деталей в час, работал 11 часов. Оказалось, что они изготовили одинаковое количество деталей. Запишите это условие в виде равенства.

Решение: Общее количество деталей, изготовленных работником, вычисляется по формуле "производительность умножить на время". Количество деталей, изготовленных первым токарем, равно $m \cdot 6 = 6m$. Количество деталей, изготовленных вторым токарем, равно $n \cdot 11 = 11n$. По условию, эти количества равны. Отсюда получаем уравнение: $6m = 11n$.

Ответ: $6m = 11n$.

3.31 а) $a + 7 = b;$

Б) $a + 2 = b + 8;$

В) $a - b = 3;$

Г) $a - 3 = b + 1.$

а) Дано равенство $a + 7 = b$. Из этого равенства видно, что если к числу $a$ прибавить 7, то получится число $b$. Это означает, что число $b$ больше числа $a$ на 7.
Ответ: число $b$ больше числа $a$ на 7.

б) Дано равенство $a + 2 = b + 8$. Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, преобразуем это равенство. Перенесем переменные в левую часть, а числа — в правую, меняя знак при переносе:
$a - b = 8 - 2$
$a - b = 6$
Так как разность $a - b$ положительна, то число $a$ больше числа $b$. Разность равна 6, следовательно, $a$ больше $b$ на 6.
Ответ: число $a$ больше числа $b$ на 6.

в) Дано равенство $a - b = 3$. Это равенство напрямую показывает разность между числами $a$ и $b$. Поскольку разность положительна, это означает, что уменьшаемое ($a$) больше вычитаемого ($b$). Разность равна 3, значит, $a$ больше $b$ на 3.
Ответ: число $a$ больше числа $b$ на 3.

г) Дано равенство $a - 3 = b + 1$. Преобразуем равенство, чтобы сравнить числа $a$ и $b$. Перенесем переменные в одну сторону, а числа — в другую:
$a - b = 1 + 3$
$a - b = 4$
Разность $a - b$ равна положительному числу 4. Это означает, что число $a$ больше числа $b$ на 4.
Ответ: число $a$ больше числа $b$ на 4.

3.32 а) $c = 5d + 2;$

В) $m = \frac{3n - 4}{7};$

б) $7(x + 1) = y;$

Г) $2(x - 1) = 3(y + 1).$

а) В данном уравнении $c = 5d + 2$ переменная $c$ уже выражена через $d$. Выразим переменную $d$ через $c$. Для этого нужно изолировать $d$ в одной части уравнения.

1. Перенесем свободный член (2) из правой части в левую, изменив его знак:

$c - 2 = 5d$

2. Теперь, чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $d$, то есть на 5:

$d = \frac{c - 2}{5}$

Ответ: $d = \frac{c - 2}{5}$

б) В уравнении $7(x + 1) = y$ переменная $y$ выражена через $x$. Выразим $x$ через $y$.

1. Можно сначала разделить обе части уравнения на 7:

$x + 1 = \frac{y}{7}$

2. Затем перенесем 1 в правую часть, изменив знак:

$x = \frac{y}{7} - 1$

Это выражение можно привести к общему знаменателю: $x = \frac{y - 7}{7}$.

Альтернативный способ:

1. Сначала раскроем скобки в левой части:

$7x + 7 = y$

2. Перенесем 7 в правую часть, изменив знак:

$7x = y - 7$

3. Разделим обе части на 7:

$x = \frac{y - 7}{7}$

Ответ: $x = \frac{y - 7}{7}$

в) В формуле $m = \frac{3n - 4}{7}$ переменная $m$ выражена через $n$. Выразим $n$ через $m$.

1. Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot m = 7 \cdot \frac{3n - 4}{7}$

$7m = 3n - 4$

2. Перенесем -4 из правой части в левую, изменив знак:

$7m + 4 = 3n$

3. Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $n$:

$n = \frac{7m + 4}{3}$

Ответ: $n = \frac{7m + 4}{3}$

г) Дано уравнение $2(x - 1) = 3(y + 1)$. В этом случае ни одна переменная не выражена через другую. Мы можем выразить как $x$ через $y$, так и $y$ через $x$.

1. Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x - 2 = 3y + 3$

Выразим $x$ через $y$:

2. Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 3y + 3 + 2$

$2x = 3y + 5$

3. Разделим обе части на 2:

$x = \frac{3y + 5}{2}$

Выразим $y$ через $x$:

2. Вернемся к уравнению $2x - 2 = 3y + 3$. Перенесем 3 из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x - 2 - 3 = 3y$

$2x - 5 = 3y$

3. Разделим обе части на 3:

$y = \frac{2x - 5}{3}$

Ответ: $x = \frac{3y + 5}{2}$ или $y = \frac{2x - 5}{3}$