Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.9 a) $ \frac{x - 3}{6} = \frac{7}{9}; $

б) $ \frac{x + 7}{3} = \frac{2x + 3}{5}; $

В) $ \frac{2x - 3}{5} = \frac{9}{10}; $

Г) $ \frac{x + 3}{2} = \frac{3x - 2}{7}. $

а)

Дано уравнение-пропорция $\frac{x - 3}{6} = \frac{7}{9}$.

Для решения уравнений такого вида используется основное свойство пропорции (перекрестное умножение): если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $a \cdot d = b \cdot c$.

Применим это свойство к нашему уравнению:

$9 \cdot (x - 3) = 6 \cdot 7$

Раскроем скобки в левой части и вычислим произведение в правой:

$9x - 27 = 42$

Перенесем число -27 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$9x = 42 + 27$

$9x = 69$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = \frac{69}{9}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{23}{3}$

Этот ответ можно также представить в виде смешанного числа $7\frac{2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{23}{3}$.

б)

Дано уравнение $\frac{x + 7}{3} = \frac{2x + 3}{5}$.

Используем правило перекрестного умножения для пропорций:

$5 \cdot (x + 7) = 3 \cdot (2x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x + 35 = 6x + 9$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а постоянные члены — в другой. Перенесем $5x$ в правую часть, а 9 — в левую, не забывая изменять знаки:

$35 - 9 = 6x - 5x$

Выполним вычисления:

$26 = x$

Ответ: $x = 26$.

в)

Дано уравнение $\frac{2x - 3}{5} = \frac{9}{10}$.

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$10 \cdot (2x - 3) = 5 \cdot 9$

Выполним умножение в обеих частях:

$20x - 30 = 45$

Перенесем -30 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$20x = 45 + 30$

$20x = 75$

Разделим обе части уравнения на 20:

$x = \frac{75}{20}$

Сократим дробь на 5:

$x = \frac{15}{4}$

Этот ответ можно также представить в виде десятичной дроби $3.75$ или смешанного числа $3\frac{3}{4}$.

Ответ: $x = \frac{15}{4}$.

г)

Дано уравнение $\frac{x + 3}{2} = \frac{3x - 2}{7}$.

Воспользуемся правилом перекрестного умножения:

$7 \cdot (x + 3) = 2 \cdot (3x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$7x + 21 = 6x - 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, изменяя их знаки:

$7x - 6x = -4 - 21$

Приведем подобные слагаемые:

$x = -25$

Ответ: $x = -25$.

4.10 а) $3(8x - 6) = 4(6x - 4,5);$

б) $3(5x - 7) = 5(3x + 4);$

в) $6\left(2x + \frac{1}{6}\right) = 5(2,4x + 0,2);$

г) $2(9x + 3) = 3(1 + 6x).$

а) Решим уравнение $3(8x - 6) = 4(6x - 4,5)$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив множитель перед скобками на каждый член внутри скобок.
Левая часть: $3 \cdot (8x) - 3 \cdot 6 = 24x - 18$.
Правая часть: $4 \cdot (6x) - 4 \cdot 4,5 = 24x - 18$.
Уравнение принимает вид: $24x - 18 = 24x - 18$.
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$24x - 24x = -18 + 18$
$0 \cdot x = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством и верно для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

б) Решим уравнение $3(5x - 7) = 5(3x + 4)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $3 \cdot (5x) - 3 \cdot 7 = 15x - 21$.
Правая часть: $5 \cdot (3x) + 5 \cdot 4 = 15x + 20$.
Уравнение принимает вид: $15x - 21 = 15x + 20$.
Соберем все члены с $x$ в левой части, а свободные члены в правой:
$15x - 15x = 20 + 21$
$0 \cdot x = 41$
$0 = 41$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении $x$ равенство не будет верным. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

в) Решим уравнение $6(2x + \frac{1}{6}) = 5(2,4x + 0,2)$.
Раскроем скобки в обеих частях.
Левая часть: $6 \cdot (2x) + 6 \cdot \frac{1}{6} = 12x + 1$.
Правая часть: $5 \cdot (2,4x) + 5 \cdot 0,2 = 12x + 1$.
Уравнение принимает вид: $12x + 1 = 12x + 1$.
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$12x - 12x = 1 - 1$
$0 \cdot x = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, не зависящее от $x$. Это значит, что уравнение является тождеством и его решением является любое число.
Ответ: $x$ - любое число.

г) Решим уравнение $2(9x + 3) = 3(1 + 6x)$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
Левая часть: $2 \cdot (9x) + 2 \cdot 3 = 18x + 6$.
Правая часть: $3 \cdot 1 + 3 \cdot (6x) = 3 + 18x$.
Уравнение принимает вид: $18x + 6 = 3 + 18x$.
Перегруппируем члены уравнения:
$18x - 18x = 3 - 6$
$0 \cdot x = -3$
$0 = -3$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

4.11 а) При каком значении переменной значение выражения $3x - 2$ равно $10$?

б) При каком значении переменной значение выражения $4y - 1$ равно $3y + 5$?

а) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $3x - 2$ равно 10, необходимо составить и решить уравнение. Приравняем выражение к 10:

$3x - 2 = 10$

Для решения этого линейного уравнения сначала перенесем свободный член (-2) из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$3x = 10 + 2$

$3x = 12$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 3:

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное выражение:

$3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

Значение выражения действительно равно 10.

Ответ: 4

б) Чтобы найти значение переменной, при котором значение выражения $4y - 1$ равно значению выражения $3y + 5$, необходимо приравнять эти два выражения и решить получившееся уравнение:

$4y - 1 = 3y + 5$

Для решения этого уравнения сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные:

$4y - 3y = 5 + 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$y = 6$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $y=6$ в оба исходных выражения:

Значение первого выражения: $4y - 1 = 4 \cdot 6 - 1 = 24 - 1 = 23$

Значение второго выражения: $3y + 5 = 3 \cdot 6 + 5 = 18 + 5 = 23$

Значения выражений равны, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 6

4.12 a) При каком значении переменной значение выражения $5k$ в два раза меньше, чем $4k + 12$?

б) При каком значении переменной значение выражения $p + 3$ в четыре раза больше, чем $7p - 33$?

а)

Согласно условию, значение выражения $5k$ в два раза меньше, чем значение выражения $4k + 12$. Это означает, что если мы умножим выражение $5k$ на 2, то получим выражение $4k + 12$. Составим на основе этого равенство:

$2 \cdot (5k) = 4k + 12$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$10k = 4k + 12$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную k, в левую часть уравнения:

$10k - 4k = 12$

$6k = 12$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти k:

$k = \frac{12}{6}$

$k = 2$

Проверим найденное значение. При $k=2$ выражение $5k$ равно $5 \cdot 2 = 10$. Выражение $4k+12$ равно $4 \cdot 2 + 12 = 8 + 12 = 20$. Число 10 действительно в два раза меньше числа 20.

Ответ: $k=2$.

б)

Согласно условию, значение выражения $p + 3$ в четыре раза больше, чем значение выражения $7p - 33$. Это означает, что выражение $p + 3$ равно выражению $7p - 33$, умноженному на 4. Составим уравнение:

$p + 3 = 4 \cdot (7p - 33)$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$p + 3 = 28p - 132$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной p в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем p вправо, а -132 влево:

$3 + 132 = 28p - p$

$135 = 27p$

Чтобы найти p, разделим обе части уравнения на 27:

$p = \frac{135}{27}$

$p = 5$

Проверим найденное значение. При $p=5$ выражение $p+3$ равно $5+3=8$. Выражение $7p-33$ равно $7 \cdot 5 - 33 = 35 - 33 = 2$. Число 8 действительно в четыре раза больше числа 2.

Ответ: $p=5$.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

4.13 На трёх полках находится 75 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей — на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

I этап. Составление математической модели

Для решения задачи необходимо перевести её условия на язык математики. Введём переменную для обозначения неизвестной величины. Удобнее всего обозначить за $x$ количество книг на второй полке, так как количество книг на других полках выражается через него.

Пусть $x$ — количество книг на второй полке.

Тогда, согласно условию, на первой полке находится в два раза больше книг, то есть $2x$ книг.

А на третьей полке на 5 книг меньше, чем на первой, то есть $(2x - 5)$ книг.

Общее количество книг на трёх полках равно 75. Составим уравнение, сложив количество книг на каждой полке и приравняв сумму к общему числу:

$2x + x + (2x - 5) = 75$

Полученное уравнение является математической моделью данной задачи.

II этап. Работа с составленной моделью

На этом этапе мы решаем полученное на первом этапе уравнение:

$2x + x + (2x - 5) = 75$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$5x - 5 = 75$

Перенесём слагаемое $-5$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 75 + 5$

$5x = 80$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{80}{5}$

$x = 16$

III этап. Ответ на вопрос задачи

Мы нашли значение $x$. Теперь необходимо интерпретировать этот результат в контексте исходной задачи. Мы обозначили за $x$ количество книг на второй полке. Следовательно, на второй полке 16 книг.

Теперь найдём количество книг на первой и третьей полках:

Количество книг на первой полке: $2x = 2 \cdot 16 = 32$ книги.

Количество книг на третьей полке: $2x - 5 = 32 - 5 = 27$ книг.

Проверим правильность решения. Общее количество книг: $32$ (на первой) $+ 16$ (на второй) $+ 27$ (на третьей) $= 75$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: на первой полке 32 книги, на второй полке 16 книг, на третьей полке 27 книг.

4.14 В трёх цехах работают 310 человек. В первом цехе рабочих в 1,5 раза больше, чем во втором, и на 110 человек меньше, чем в третьем. Сколько рабочих в каждом цехе?

Для решения этой задачи введём переменную и составим уравнение.
Пусть $x$ — количество рабочих во втором цехе.
Из условия известно, что в первом цехе рабочих в 1,5 раза больше, чем во втором. Следовательно, количество рабочих в первом цехе можно выразить как $1.5x$.
Также в условии говорится, что в первом цехе на 110 человек меньше, чем в третьем. Это значит, что в третьем цехе на 110 человек больше, чем в первом. Таким образом, количество рабочих в третьем цехе составляет $1.5x + 110$.
Общее количество рабочих во всех трёх цехах — 310 человек. Мы можем составить уравнение, сложив количество рабочих в каждом цехе:
$x (\text{цех 2}) + 1.5x (\text{цех 1}) + (1.5x + 110) (\text{цех 3}) = 310$
Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые с переменной $x$:
$x + 1.5x + 1.5x + 110 = 310$
$4x + 110 = 310$
Перенесём число 110 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$4x = 310 - 110$
$4x = 200$
Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 4:
$x = \frac{200}{4}$
$x = 50$
Итак, мы нашли, что во втором цехе работает 50 человек.
Теперь можем найти количество рабочих в остальных цехах:
• В первом цехе: $1.5x = 1.5 \times 50 = 75$ человек.
• В третьем цехе: $1.5x + 110 = 75 + 110 = 185$ человек.

Проверка: $50 + 75 + 185 = 310$. Общее количество сходится.

Ответ: в первом цехе 75 рабочих, во втором — 50, а в третьем — 185.

4.15 Периметр треугольника $ABC$ равен $44 \text{ см}$. Сторона $AB$ вдвое меньше стороны $BC$ и на $4 \text{ см}$ меньше стороны $AC$. Найдите длины всех сторон треугольника.

Для решения задачи введем переменную. Пусть длина стороны $AB$ равна $x$ см.

Согласно условию, сторона $AB$ вдвое меньше стороны $BC$. Это означает, что длина стороны $BC$ вдвое больше длины стороны $AB$. Выразим длину $BC$ через $x$:
$BC = 2 \cdot AB = 2x$ см.

Также по условию, сторона $AB$ на 4 см меньше стороны $AC$. Это означает, что длина стороны $AC$ на 4 см больше длины стороны $AB$. Выразим длину $AC$ через $x$:
$AC = AB + 4 = x + 4$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 44 см. Формула периметра: $P = AB + BC + AC$. Подставим известные значения и выражения для сторон в формулу, чтобы составить уравнение:

$x + 2x + (x + 4) = 44$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$x + 2x + x + 4 = 44$
$4x + 4 = 44$
$4x = 44 - 4$
$4x = 40$
$x = \frac{40}{4}$
$x = 10$

Мы нашли значение $x$, которое представляет собой длину стороны $AB$. Итак, $AB = 10$ см. Теперь можем найти длины двух других сторон:
$BC = 2x = 2 \cdot 10 = 20$ см.
$AC = x + 4 = 10 + 4 = 14$ см.

Для проверки сложим длины всех сторон, чтобы убедиться, что периметр равен 44 см:
$10 \text{ см} + 20 \text{ см} + 14 \text{ см} = 44 \text{ см}$.
Условия задачи выполнены.

Ответ: длина стороны $AB$ равна 10 см, длина стороны $BC$ равна 20 см, длина стороны $AC$ равна 14 см.

4.16 В школе 900 учащихся. Сколько учащихся в начальных, средних и старших классах, если известно, что в начальных классах их в 3 раза больше, чем в старших, и в 2 раза меньше, чем в средних?

Для решения этой задачи введем неизвестную. Пусть $x$ — количество учащихся в старших классах.

Основываясь на условиях задачи, выразим количество учащихся в начальных и средних классах через $x$:

1. Учащихся в начальных классах в 3 раза больше, чем в старших, следовательно, их количество составляет $3 \times x = 3x$.

2. Учащихся в начальных классах в 2 раза меньше, чем в средних. Это означает, что учащихся в средних классах в 2 раза больше, чем в начальных. Следовательно, их количество составляет $2 \times (3x) = 6x$.

Общее число учащихся в школе равно 900. Мы можем составить уравнение, приравняв сумму учащихся во всех трех группах к общему числу:

$x$ (старшие) $+ 3x$ (начальные) $+ 6x$ (средние) $= 900$

Решим полученное уравнение:

$10x = 900$

$x = \frac{900}{10}$

$x = 90$

Мы нашли, что в старших классах учится 90 человек.

Теперь можем рассчитать количество учащихся в остальных классах:

В начальных классах: $3x = 3 \times 90 = 270$ учащихся.

В средних классах: $6x = 6 \times 90 = 540$ учащихся.

Проверим правильность решения, сложив количество учащихся: $90 + 270 + 540 = 900$. Сумма верна.

Ответ: в начальных классах 270 учащихся, в средних классах — 540 учащихся, в старших классах — 90 учащихся.