Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5.5 «Число $x$ меньше числа $y$». Переведите это утверждение:

а) на алгебраический язык (с помощью знака неравенства);

б) на геометрический язык (с помощью координатной прямой).

а) на алгебраический язык (с помощью знака неравенства)

Утверждение «число $x$ меньше числа $y$» означает, что значение $x$ находится на числовой оси левее значения $y$. В алгебре для обозначения отношения «меньше» используется специальный знак «<». Запись этого утверждения в виде неравенства выглядит следующим образом.

Ответ: $x < y$

б) на геометрический язык (с помощью координатной прямой)

На координатной (или числовой) прямой каждому числу соответствует определённая точка. При этом числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это значит, что если одно число меньше другого, то точка, соответствующая меньшему числу, будет расположена левее точки, соответствующей большему числу. Следовательно, утверждение «число $x$ меньше числа $y$» на геометрическом языке означает, что точка с координатой $x$ находится на координатной прямой левее точки с координатой $y$.

Схематично это можно изобразить так:

Ответ: На координатной прямой точка с координатой $x$ расположена левее точки с координатой $y$.

5.6 «Число $a$ больше числа $b$, но меньше числа $c$». Переведите это утверждение:

a) на алгебраический язык (с помощью знаков неравенств);

б) на геометрический язык (с помощью координатной прямой).

а) на алгебраический язык (с помощью знаков неравенств);

Утверждение «Число $a$ больше числа $b$, но меньше числа $c$» можно разбить на две части.

1. «Число $a$ больше числа $b$». На языке алгебры это записывается в виде неравенства: $a > b$. Это неравенство равносильно записи $b < a$.

2. «...но [число $a$] меньше числа $c$». Это означает, что $a < c$.

Теперь объединим эти два условия. Мы имеем $b < a$ и $a < c$. Это можно записать в виде одного двойного неравенства: $b < a < c$.

Ответ: $b < a < c$.

б) на геометрический язык (с помощью координатной прямой).

На координатной прямой действует правило: чем больше число, тем правее на прямой расположена соответствующая ему точка. И наоборот, чем меньше число, тем левее расположена точка.

Из двойного неравенства $b < a < c$ следует, что:

• Так как $b < a$, точка, изображающая число $b$, лежит левее точки, изображающей число $a$.
• Так как $a < c$, точка, изображающая число $a$, лежит левее точки, изображающей число $c$.

Следовательно, на координатной прямой эти три точки будут расположены в порядке возрастания их значений, то есть слева направо: сначала точка $b$, затем точка $a$, и затем точка $c$.

Это можно изобразить следующим образом:

Ответ: На координатной прямой точка $a$ расположена между точками $b$ и $c$, при этом точка $b$ находится левее точки $a$, а точка $c$ — правее точки $a$.

Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, назовите его, запишите аналитическую модель промежутка, используя знаки неравенств:

5.7 а) $(3; +\infty)$; $x > 3$

б) $(-\infty; -5)$; $x < -5$

в) $(-2; +\infty)$; $x > -2$

г) $(-\infty; 0)$. $x < 0$

Этот числовой промежуток называется открытым числовым лучом.

Изобразим его на координатной прямой. На оси отмечаем точку 3. Так как скобка круглая, что соответствует строгому неравенству, точка 3 не принадлежит промежутку, и мы изображаем ее "выколотой" (в виде пустого кружка). Поскольку промежуток включает все числа больше 3, заштриховываем часть прямой справа от точки 3.

Аналитическая модель промежутка — это неравенство, которому удовлетворяют все точки этого промежутка ($x$). В данном случае это $x > 3$.

Ответ: Промежуток $(3; +\infty)$ является открытым числовым лучом, на координатной прямой ему соответствуют все точки, расположенные правее точки 3 (сама точка 3 не включена). Его аналитическая модель — неравенство $x > 3$.

Этот числовой промежуток называется открытым числовым лучом.

Изобразим его на координатной прямой. На оси отмечаем точку -5. Точка -5 является "выколотой", так как она не принадлежит промежутку. Поскольку промежуток включает все числа меньше -5, заштриховываем часть прямой слева от точки -5.

Аналитическая модель промежутка записывается в виде неравенства: $x < -5$.

Ответ: Промежуток $(-\infty; -5)$ является открытым числовым лучом, на координатной прямой ему соответствуют все точки, расположенные левее точки -5 (сама точка -5 не включена). Его аналитическая модель — неравенство $x < -5$.

Этот числовой промежуток называется открытым числовым лучом.

Изобразим его на координатной прямой. На оси отмечаем точку -2. Точка -2 является "выколотой", так как она не принадлежит промежутку. Поскольку промежуток включает все числа больше -2, заштриховываем часть прямой справа от точки -2.

Аналитическая модель промежутка записывается в виде неравенства: $x > -2$.

Ответ: Промежуток $(-2; +\infty)$ является открытым числовым лучом, на координатной прямой ему соответствуют все точки, расположенные правее точки -2 (сама точка -2 не включена). Его аналитическая модель — неравенство $x > -2$.

Этот числовой промежуток называется открытым числовым лучом.

Изобразим его на координатной прямой. На оси отмечаем точку 0. Точка 0 является "выколотой", так как она не принадлежит промежутку. Поскольку промежуток включает все числа меньше 0, заштриховываем часть прямой слева от точки 0.

Аналитическая модель промежутка записывается в виде неравенства: $x < 0$.

Ответ: Промежуток $(-\infty; 0)$ является открытым числовым лучом, на координатной прямой ему соответствуют все точки, расположенные левее точки 0 (сама точка 0 не включена). Его аналитическая модель — неравенство $x < 0$.

5.8 а) $[1; +\infty);$

б) $(-\infty; 4];$

в) $(-\infty; -2];$

г) $[-1; +\infty).$

а) Запись $[1; +\infty)$ обозначает числовой промежуток, который начинается с числа 1 и продолжается до плюс бесконечности. Квадратная скобка `[` означает, что число 1 включается в этот промежуток. Таким образом, речь идет о всех числах $x$, которые больше или равны 1. В виде неравенства это записывается как $x \ge 1$.
Ответ: $x \ge 1$.

б) Запись $(-\infty; 4]$ обозначает числовой промежуток от минус бесконечности до числа 4. Квадратная скобка `]` означает, что число 4 включается в этот промежуток. Следовательно, это множество всех чисел $x$, которые меньше или равны 4. В виде неравенства это записывается как $x \le 4$.
Ответ: $x \le 4$.

в) Запись $(-\infty; -2]$ обозначает числовой промежуток от минус бесконечности до числа -2. Квадратная скобка `]` у числа -2 означает, что это число принадлежит промежутку. Таким образом, это все числа $x$, которые меньше или равны -2. Соответствующее неравенство: $x \le -2$.
Ответ: $x \le -2$.

г) Запись $[-1; +\infty)$ обозначает числовой промежуток, который начинается с числа -1 и продолжается до плюс бесконечности. Квадратная скобка `[` у числа -1 показывает, что -1 является частью этого промежутка. Это значит, что речь идет обо всех числах $x$, которые больше или равны -1. Неравенство для этого промежутка имеет вид $x \ge -1$.
Ответ: $x \ge -1$.

5.9 a) $(3; 5);$

б) $[-5; 1];$

в) $[4; 6];$

г) $(0; 1).$

а) Запись $(3; 5)$ обозначает открытый числовой интервал. Он содержит все действительные числа $x$, которые строго больше 3 и строго меньше 5. Круглые скобки указывают, что граничные точки 3 и 5 не включаются в множество. Таким образом, данный промежуток можно описать с помощью двойного строгого неравенства.
Ответ: $3 < x < 5$.

б) Запись $[-5; 1]$ обозначает замкнутый числовой интервал, или отрезок. Он содержит все действительные числа $x$, которые больше или равны -5 и меньше или равны 1. Квадратные скобки указывают, что граничные точки -5 и 1 включаются в множество. Таким образом, данный промежуток можно описать с помощью двойного нестрогого неравенства.
Ответ: $-5 \le x \le 1$.

в) Запись $[4; 6]$ обозначает замкнутый числовой интервал, или отрезок. Он содержит все действительные числа $x$, которые больше или равны 4 и меньше или равны 6. Квадратные скобки указывают, что граничные точки 4 и 6 включаются в множество. Таким образом, данный промежуток можно описать с помощью двойного нестрогого неравенства.
Ответ: $4 \le x \le 6$.

г) Запись $(0; 1)$ обозначает открытый числовой интервал. Он содержит все действительные числа $x$, которые строго больше 0 и строго меньше 1. Круглые скобки указывают, что граничные точки 0 и 1 не включаются в множество. Таким образом, данный промежуток можно описать с помощью двойного строгого неравенства.
Ответ: $0 < x < 1$.

5.10 a) $[6; 8];$

б) $(-2; 4];$

в) $[-3; -1);$

г) $(5; 7].$

а) Данный промежуток $[6; 8]$ представляет собой числовой отрезок. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа 6 и 8, принадлежат этому промежутку. Это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $6 \le x \le 8$.
Ответ: $6 \le x \le 8$.

б) Данный промежуток $(-2; 4]$ представляет собой полуинтервал. Круглая скобка слева означает, что число -2 не принадлежит промежутку, а квадратная скобка справа означает, что число 4 принадлежит промежутку. Это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $-2 < x \le 4$.
Ответ: $-2 < x \le 4$.

в) Данный промежуток $[-3; -1)$ представляет собой полуинтервал. Квадратная скобка слева означает, что число -3 принадлежит промежутку, а круглая скобка справа означает, что число -1 не принадлежит промежутку. Это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $-3 \le x < -1$.
Ответ: $-3 \le x < -1$.

г) Данный промежуток $(5; 7)$ представляет собой числовой интервал. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа 5 и 7, не принадлежат этому промежутку. Это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $5 < x < 7$.
Ответ: $5 < x < 7$.

Дана геометрическая модель числового промежутка. Назовите этот числовой промежуток, обозначьте его, запишите аналитическую модель:

5.11 a) $x > 5$

б) $x > -7$

в) $x > 3$

г) $x < 4$

а)

На данном изображении показана числовая прямая, на которой заштрихована область справа от числа 5. Точка 5 отмечена пустым (выколотым) кружком. Это означает, что само число 5 не входит в данный промежуток. Такой промежуток включает в себя все числа, которые строго больше 5.

Этот числовой промежуток называется открытый луч.

Обозначение этого промежутка: $(5; +\infty)$. Круглая скобка у числа 5 указывает на то, что оно не включается в промежуток.

Аналитическая модель этого промежутка — это строгое неравенство: $x > 5$.

Ответ: открытый луч, $(5; +\infty)$, $x > 5$.

б)

На данном изображении показана числовая прямая, на которой заштрихована область слева от числа -7. Точка -7 отмечена пустым (выколотым) кружком, что означает, что само число -7 не входит в данный промежуток. Этот промежуток включает в себя все числа, которые строго меньше -7.

Этот числовой промежуток называется открытый луч.

Обозначение этого промежутка: $(-\infty; -7)$. Круглая скобка у числа -7 указывает на то, что оно не включается в промежуток.

Аналитическая модель этого промежутка — это строгое неравенство: $x < -7$.

Ответ: открытый луч, $(-\infty; -7)$, $x < -7$.

в)

На данном изображении показана числовая прямая, на которой заштрихована область справа от числа 3. Точка 3 отмечена пустым (выколотым) кружком. Это означает, что само число 3 не входит в данный промежуток. Этот промежуток включает в себя все числа, которые строго больше 3.

Этот числовой промежуток называется открытый луч.

Обозначение этого промежутка: $(3; +\infty)$.

Аналитическая модель этого промежутка — это строгое неравенство: $x > 3$.

Ответ: открытый луч, $(3; +\infty)$, $x > 3$.

г)

На данном изображении показана числовая прямая, на которой заштрихована область слева от числа 4. Точка 4 отмечена пустым (выколотым) кружком, что означает, что само число 4 не входит в данный промежуток. Этот промежуток включает в себя все числа, которые строго меньше 4.

Этот числовой промежуток называется открытый луч.

Обозначение этого промежутка: $(-\infty; 4)$.

Аналитическая модель этого промежутка — это строгое неравенство: $x < 4$.

Ответ: открытый луч, $(-\infty; 4)$, $x < 4$.

5.12 а) $y \ge 2$

б) $y \le 1$

в) $y \ge 8$

г) $y \le 4$

а) На числовой оси изображен числовой промежуток. Граничная точка с координатой 2 закрашена, что означает, что она включена в данный промежуток. Это соответствует нестрогому неравенству ($\ge$ или $\le$). Штриховка расположена справа от точки 2, что соответствует всем числам, которые больше 2. Таким образом, на графике изображено множество всех чисел $y$, которые больше или равны 2.
Ответ: $y \ge 2$, что в виде числового промежутка записывается как $y \in [2; +\infty)$.

б) На числовой оси изображен числовой промежуток. Граничная точка с координатой 1 закрашена, следовательно, она включена в промежуток (используется нестрогое неравенство). Штриховка расположена слева от точки 1, что соответствует всем числам, которые меньше 1. Таким образом, на графике изображено множество всех чисел $y$, которые меньше или равны 1.
Ответ: $y \le 1$, что в виде числового промежутка записывается как $y \in (-\infty; 1]$.

в) На числовой оси изображен числовой промежуток. Граничная точка с координатой 8 закрашена, что означает, что она включена в промежуток. Штриховка расположена справа от точки 8, что соответствует всем числам, которые больше 8. Следовательно, на графике изображено множество всех чисел $y$, которые больше или равны 8.
Ответ: $y \ge 8$, что в виде числового промежутка записывается как $y \in [8; +\infty)$.

г) На числовой оси изображен числовой промежуток. Граничная точка с координатой 4 закрашена, поэтому она включена в промежуток. Штриховка расположена слева от точки 4, что соответствует всем числам, которые меньше 4. В результате на графике изображено множество всех чисел $y$, которые меньше или равны 4.
Ответ: $y \le 4$, что в виде числового промежутка записывается как $y \in (-\infty; 4]$.

5.13 а) $3 < a < 5$

б) $3 \le a \le 5$

в) $-1 < a < 0$

г) $9 \le a \le 10$

а) На числовой оси изображен числовой промежуток, ограниченный точками 3 и 5. Обе точки, 3 и 5, изображены выколотыми (пустыми кружками). Это означает, что они не включаются в промежуток. Такой тип неравенства называется строгим. Заштрихованная область находится между этими двумя точками. Следовательно, переменная a принимает значения, которые строго больше 3 и строго меньше 5. Это можно записать в виде двойного неравенства $3 < a < 5$. В нотации числовых промежутков это соответствует интервалу, который записывается с помощью круглых скобок.

Ответ: $3 < a < 5$, или $a \in (3; 5)$.

б) На числовой оси изображен числовой промежуток, ограниченный точками 3 и 5. Обе точки, 3 и 5, изображены закрашенными (сплошными кружками). Это означает, что они включаются в промежуток. Такой тип неравенства называется нестрогим. Заштрихованная область находится между этими двумя точками, включая их. Следовательно, переменная a принимает значения, которые больше или равны 3 и меньше или равны 5. Это можно записать в виде двойного неравенства $3 \le a \le 5$. В нотации числовых промежутков это соответствует отрезку, который записывается с помощью квадратных скобок.

Ответ: $3 \le a \le 5$, или $a \in [3; 5]$.

в) На числовой оси изображен числовой промежуток, ограниченный точками -1 и 0. Обе точки, -1 и 0, изображены выколотыми (пустыми кружками), что соответствует строгим неравенствам. Это означает, что граничные точки не принадлежат промежутку. Заштрихованная область находится строго между -1 и 0. Таким образом, переменная a принимает значения, которые строго больше -1 и строго меньше 0. Это записывается в виде двойного неравенства $-1 < a < 0$. В нотации числовых промежутков это интервал, обозначаемый круглыми скобками.

Ответ: $-1 < a < 0$, или $a \in (-1; 0)$.

г) На числовой оси изображен числовой промежуток, ограниченный точками 9 и 10. Обе точки, 9 и 10, изображены закрашенными (сплошными кружками), что соответствует нестрогим неравенствам. Это означает, что граничные точки принадлежат промежутку. Заштрихованная область находится между 9 и 10, включая эти точки. Таким образом, переменная a принимает значения, которые больше или равны 9 и меньше или равны 10. Это записывается в виде двойного неравенства $9 \le a \le 10$. В нотации числовых промежутков это отрезок, обозначаемый квадратными скобками.

Ответ: $9 \le a \le 10$, или $a \in [9; 10]$.

5.14 a) $0 \le b < 1$

б) $-6 < b \le -1$

В) $-1 \le b < 1$

Г) $3 < b \le 5$

а)

На данном изображении представлена числовая ось b, на которой заштрихован промежуток. Левая граница этого промежутка — точка 0, которая обозначена закрашенным (невыколотым) кружком. Это означает, что число 0 входит в промежуток, и для его записи используется нестрогий знак неравенства (больше или равно, $ \ge $) и квадратная скобка. Правая граница — точка 1, обозначенная выколотым (пустым) кружком. Это означает, что число 1 не входит в промежуток, и используется строгий знак неравенства (меньше, $ < $) и круглая скобка.

Таким образом, заштрихованный промежуток соответствует всем числам b, которые больше или равны 0, но строго меньше 1. В виде двойного неравенства это записывается как $0 \le b < 1$. В виде числового промежутка это записывается как $[0; 1)$.

Ответ: $0 \le b < 1$, или в виде промежутка $[0; 1)$.

б)

На числовой оси b заштрихован промежуток между -6 и -1. Левая граница, точка -6, является выколотой, что означает, что значение -6 не включается в промежуток. Для этого используется строгий знак неравенства (больше, $ > $) и круглая скобка. Правая граница, точка -1, является закрашенной, что означает, что значение -1 включается в промежуток. Для этого используется нестрогий знак неравенства (меньше или равно, $ \le $) и квадратная скобка.

Следовательно, данный промежуток включает все числа b, которые строго больше -6 и меньше или равны -1. В виде двойного неравенства это записывается как $-6 < b \le -1$. В виде числового промежутка это записывается как $(-6; -1]$.

Ответ: $-6 < b \le -1$, или в виде промежутка $(-6; -1]$.

в)

На числовой оси b показан промежуток от -1 до 1. Левая граница, точка -1, закрашена. Это указывает на то, что число -1 принадлежит этому промежутку, что соответствует нестрогому знаку неравенства ($ \ge $) и квадратной скобке. Правая граница, точка 1, выколота. Это указывает на то, что число 1 не принадлежит этому промежутку, что соответствует строгому знаку неравенства ($ < $) и круглой скобке.

Этот промежуток можно описать как множество всех чисел b, которые больше или равны -1 и строго меньше 1. Запись в виде двойного неравенства: $-1 \le b < 1$. Запись в виде числового промежутка: $[-1; 1)$.

Ответ: $-1 \le b < 1$, или в виде промежутка $[-1; 1)$.

г)

На числовой оси b заштрихован промежуток, ограниченный точками 3 и 5. Левая граница, точка 3, изображена выколотым кружком, значит, она не входит в промежуток. Используется строгий знак неравенства ($ > $) и круглая скобка. Правая граница, точка 5, изображена закрашенным кружком, значит, она входит в промежуток. Используется нестрогий знак неравенства ($ \le $) и квадратная скобка.

Таким образом, мы ищем все числа b, которые строго больше 3 и меньше или равны 5. Неравенство, описывающее этот промежуток, имеет вид $3 < b \le 5$. В виде числового промежутка это записывается как $(3; 5]$.

Ответ: $3 < b \le 5$, или в виде промежутка $(3; 5]$.