Страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Вариант 1

1 Вычислите наиболее рациональным способом:

$0,15 \cdot 348,4 + 151,6 \cdot 0,15.$

1. Чтобы вычислить значение выражения $0,15 \cdot 348,4 + 151,6 \cdot 0,15$ наиболее рациональным способом, необходимо заметить, что оба слагаемых имеют общий множитель $0,15$.

Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения, которое гласит: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Вынесем общий множитель $0,15$ за скобки:

$0,15 \cdot 348,4 + 151,6 \cdot 0,15 = 0,15 \cdot (348,4 + 151,6)$

Теперь выполним действие в скобках:

$348,4 + 151,6 = 500$

Далее умножим полученную сумму на общий множитель:

$0,15 \cdot 500 = 75$

Ответ: 75.

2 Выясните, имеет ли выражение смысл, и если да, то равно ли нулю его значение:

$\frac{\left(3\frac{7}{11} - 5 \cdot 2\frac{7}{22}\right) \cdot 0.08 + 1 : 1\frac{4}{7}}{2\frac{1}{3} : \frac{4}{9} - 15.4 \cdot 0.18}$

Для ответа на поставленные вопросы необходимо вычислить значение числителя и знаменателя данного выражения.

Выражение: $ \frac{(3\frac{7}{11} - 5 \cdot 2\frac{7}{22}) \cdot 0,08 + 1 : 1\frac{4}{7}}{2\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} - 15,4 \cdot 0,18} $

1. Вычисление числителя: $ (3\frac{7}{11} - 5 \cdot 2\frac{7}{22}) \cdot 0,08 + 1 : 1\frac{4}{7} $

Выполним вычисления по действиям:

1) $ 5 \cdot 2\frac{7}{22} = 5 \cdot \frac{2 \cdot 22 + 7}{22} = 5 \cdot \frac{51}{22} = \frac{255}{22} $

2) $ 3\frac{7}{11} - \frac{255}{22} = \frac{3 \cdot 11 + 7}{11} - \frac{255}{22} = \frac{40}{11} - \frac{255}{22} = \frac{80}{22} - \frac{255}{22} = \frac{80 - 255}{22} = -\frac{175}{22} $

3) $ -\frac{175}{22} \cdot 0,08 = -\frac{175}{22} \cdot \frac{8}{100} = -\frac{175}{22} \cdot \frac{2}{25} = -\frac{7 \cdot 25 \cdot 2}{11 \cdot 2 \cdot 25} = -\frac{7}{11} $

4) $ 1 : 1\frac{4}{7} = 1 : \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = 1 : \frac{11}{7} = 1 \cdot \frac{7}{11} = \frac{7}{11} $

5) $ -\frac{7}{11} + \frac{7}{11} = 0 $

В результате вычислений мы получили, что числитель равен 0.

2. Вычисление знаменателя: $ 2\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} - 15,4 \cdot 0,18 $

Выражение имеет смысл только в том случае, если его знаменатель не равен нулю. Проверим это условие.

1) $ 2\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{28}{27} $

2) $ 15,4 \cdot 0,18 = 2,772 $

3) $ \frac{28}{27} - 2,772 = 1\frac{1}{27} - 2,772 $. Так как $ 1\frac{1}{27} \approx 1,037 $, то $ 1,037 - 2,772 = -1,735 $, что не равно нулю.

Знаменатель не равен 0, следовательно, выражение имеет смысл.

Имеет ли выражение смысл?

Да, выражение имеет смысл, так как его знаменатель не обращается в ноль, а значит, операция деления выполнима.

Равно ли нулю его значение?

Да, значение выражения равно нулю. Поскольку числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля, результат деления равен 0.

$ \frac{0}{2\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} - 15,4 \cdot 0,18} = 0 $

Ответ: Выражение имеет смысл, и его значение равно 0.

3 Найдите значение выражения $x+y$, если $x$ – полусумма чисел $38,5$ и $12,36$, а $y$ – утроенная разность чисел $24,39$ и $16,2$.

Найдем значение x
По условию, x — это полусумма чисел 38,5 и 12,36. Это значит, что нужно найти сумму этих чисел и результат разделить на 2.
$x = \frac{38,5 + 12,36}{2} = \frac{50,86}{2} = 25,43$.
Ответ: 25,43.

Найдем значение y
По условию, y — это утроенная разность чисел 24,39 и 16,2. Это значит, что нужно найти разность этих чисел и результат умножить на 3.
$y = 3 \cdot (24,39 - 16,2) = 3 \cdot 8,19 = 24,57$.
Ответ: 24,57.

Найдем значение выражения $x + y$
Теперь вычислим сумму найденных значений x и y.
$x + y = 25,43 + 24,57 = 50$.
Ответ: 50.

4 Найдите неизвестное число, если полусумма этого числа и числа 12,3 больше полуразности числа 1,5 и неизвестного числа на 3.

Для решения задачи введем переменную. Пусть неизвестное число — это $x$.

Согласно условию, нам нужно составить уравнение, используя два выражения: "полусумма" и "полуразность".

Полусумма неизвестного числа и числа 12,3 — это их сумма, разделенная на два. Математически это записывается так:
$\frac{x + 12,3}{2}$

Полуразность числа 1,5 и неизвестного числа — это их разность, разделенная на два. Математически это записывается так:
$\frac{1,5 - x}{2}$

В условии сказано, что полусумма больше полуразности на 3. Это означает, что если к полуразности прибавить 3, то мы получим полусумму. Составим уравнение на основе этого условия:
$\frac{x + 12,3}{2} = \frac{1,5 - x}{2} + 3$

Теперь решим полученное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot \left(\frac{x + 12,3}{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1,5 - x}{2} + 3\right)$
$x + 12,3 = (1,5 - x) + 6$

Раскроем скобки и упростим правую часть уравнения:
$x + 12,3 = 1,5 - x + 6$
$x + 12,3 = 7,5 - x$

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые константы — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$x + x = 7,5 - 12,3$

Выполним сложение и вычитание в обеих частях:
$2x = -4,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-4,8}{2}$
$x = -2,4$

Таким образом, неизвестное число равно -2,4.

Ответ: -2,4

5 Решите задачу, выделяя 3 этапа математического моделирования.

В кабинете математики в трёх шкафах лежат модели геометрических фигур. Во втором шкафу на 4 модели больше, чем в третьем, и на 15 меньше, чем в первом. Сколько моделей в каждом шкафу, если всего в кабинете 50 моделей?

Этап 1. Составление математической модели.

Пусть:

• $x_1$ - количество моделей в первом шкафу;
• $x_2$ - количество моделей во втором шкафу;
• $x_3$ - количество моделей в третьем шкафу.

По условию задачи, во втором шкафу на 4 модели больше, чем в третьем:

$x_2 = x_3 + 4$

Отсюда выразим $x_3$:

$x_3 = x_2 - 4$

Также, во втором шкафу на 15 моделей меньше, чем в первом:

$x_2 = x_1 - 15$

Отсюда выразим $x_1$:

$x_1 = x_2 + 15$

Всего в кабинете 50 моделей, значит, сумма моделей во всех шкафах равна 50:

$x_1 + x_2 + x_3 = 50$

Подставим выражения для $x_1$ и $x_3$ в последнее уравнение, чтобы получить уравнение с одной переменной $x_2$:

$(x_2 + 15) + x_2 + (x_2 - 4) = 50$

Этап 2. Работа с математической моделью.

Решим полученное уравнение:

$x_2 + 15 + x_2 + x_2 - 4 = 50$

Приведем подобные слагаемые:

$3x_2 + 11 = 50$

Вычтем 11 из обеих частей уравнения:

$3x_2 = 50 - 11$

$3x_2 = 39$

Разделим обе части на 3:

$x_2 = 39 / 3$

$x_2 = 13$

Теперь найдем количество моделей в первом и третьем шкафах, используя найденное значение $x_2$:

$x_1 = x_2 + 15 = 13 + 15 = 28$

$x_3 = x_2 - 4 = 13 - 4 = 9$

Этап 3. Анализ полученных результатов.

Мы получили, что в первом шкафу 28 моделей, во втором - 13 моделей, в третьем - 9 моделей.

Проверим общую сумму моделей:

$28 + 13 + 9 = 50$

Это соответствует условию задачи (всего 50 моделей).Проверим остальные условия:

• Во втором шкафу (13 моделей) на 4 модели больше, чем в третьем (9 моделей): $13 = 9 + 4$. Верно.
• Во втором шкафу (13 моделей) на 15 моделей меньше, чем в первом (28 моделей): $13 = 28 - 15$. Верно.

Все условия задачи выполнены. Результаты логичны и не противоречат смыслу задачи.

Ответ: В первом шкафу 28 моделей, во втором - 13 моделей, в третьем - 9 моделей.

Для решения задачи выделим три этапа математического моделирования.

Первый этап: Составление математической модели.

На этом этапе мы переводим условие задачи на язык математики. Пусть $x$ — количество моделей во втором шкафу. Тогда, согласно условию задачи, количество моделей в других шкафах можно выразить через $x$.

• Во втором шкафу на 4 модели больше, чем в третьем, значит, в третьем шкафу на 4 модели меньше, чем во втором. Количество моделей в третьем шкафу: $x - 4$.
• Во втором шкафу на 15 моделей меньше, чем в первом, значит, в первом шкафу на 15 моделей больше, чем во втором. Количество моделей в первом шкафу: $x + 15$.

Всего в трех шкафах 50 моделей. Составим уравнение, сложив количество моделей в каждом шкафу:

$(x + 15) + x + (x - 4) = 50$

Второй этап: Работа с математической моделью.

На этом этапе мы решаем полученное уравнение:

$(x + 15) + x + (x - 4) = 50$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x + 15 + x + x - 4 = 50$

$3x + 11 = 50$

Перенесем число 11 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$3x = 50 - 11$

$3x = 39$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{39}{3}$

$x = 13$

Третий этап: Интерпретация результата.

На этом этапе мы возвращаемся к условию задачи и интерпретируем полученный результат. Мы нашли значение $x$, которое обозначает количество моделей во втором шкафу.

• Количество моделей во втором шкафу: $x = 13$ моделей.
• Количество моделей в первом шкафу: $x + 15 = 13 + 15 = 28$ моделей.
• Количество моделей в третьем шкафу: $x - 4 = 13 - 4 = 9$ моделей.

Проверим, соответствует ли наше решение условию задачи. Общее количество моделей: $28 + 13 + 9 = 50$, что совпадает с условием. Во втором шкафу на 4 модели больше, чем в третьем ($13 = 9 + 4$), и на 15 меньше, чем в первом ($13 = 28 - 15$). Все условия выполнены.

Ответ: в первом шкафу 28 моделей, во втором — 13 моделей, в третьем — 9 моделей.

6. Придумайте задачу, математическая модель которой указана ниже, и решите её:

$5x + 4(x + 20) = 620.$

Задача

Фермер собрал урожай яблок и груш. Яблоки он разложил в 5 ящиков, а груши — в 4 ящика. При этом в каждом ящике с грушами было на 20 кг фруктов больше, чем в ящике с яблоками. Общий вес собранного урожая составил 620 кг. Сколько килограммов яблок было в одном ящике и сколько килограммов груш было в одном ящике?

Решение

Пусть $x$ кг — масса яблок в одном ящике.

Тогда $(x + 20)$ кг — масса груш в одном ящике.

Общая масса яблок в 5 ящиках составляет $5x$ кг.

Общая масса груш в 4 ящиках составляет $4(x + 20)$ кг.

Так как общий вес всего урожая равен 620 кг, составим и решим уравнение:

$5x + 4(x + 20) = 620$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x + 4 \cdot x + 4 \cdot 20 = 620$

$5x + 4x + 80 = 620$

Приведем подобные слагаемые:

$9x + 80 = 620$

Перенесем число 80 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$9x = 620 - 80$

$9x = 540$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 9:

$x = 540 / 9$

$x = 60$

Следовательно, в одном ящике было 60 кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов груш было в одном ящике:

$x + 20 = 60 + 20 = 80$ (кг).

Проверка: $5 \cdot 60 + 4 \cdot 80 = 300 + 320 = 620$. Всё верно.

Ответ: в одном ящике было 60 кг яблок, а в другом — 80 кг груш.

7 Решите уравнение $\frac{3x-4}{9} + \frac{5x-7}{6} = \frac{4x+5}{18}$.

Данное уравнение представляет собой линейное уравнение с дробями. Для его решения необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Исходное уравнение:

$$ \frac{3x - 4}{9} + \frac{5x - 7}{6} = \frac{4x + 5}{18} $$

1. Нахождение общего знаменателя.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9, 6 и 18. НОК(9, 6, 18) = 18.

2. Умножение уравнения на общий знаменатель.

Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей:

$$ 18 \cdot \left(\frac{3x - 4}{9}\right) + 18 \cdot \left(\frac{5x - 7}{6}\right) = 18 \cdot \left(\frac{4x + 5}{18}\right) $$

3. Упрощение уравнения.

Сократим каждую дробь:

$$ \frac{18}{9} \cdot (3x - 4) + \frac{18}{6} \cdot (5x - 7) = \frac{18}{18} \cdot (4x + 5) $$

$$ 2(3x - 4) + 3(5x - 7) = 1(4x + 5) $$

4. Раскрытие скобок.

Применим распределительный закон умножения:

$$ 6x - 8 + 15x - 21 = 4x + 5 $$

5. Приведение подобных слагаемых.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены в левой части:

$$ (6x + 15x) + (-8 - 21) = 4x + 5 $$

$$ 21x - 29 = 4x + 5 $$

6. Решение линейного уравнения.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$$ 21x - 4x = 5 + 29 $$

$$ 17x = 34 $$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 17:

$$ x = \frac{34}{17} $$

$$ x = 2 $$

7. Проверка.

Подставим найденное значение $x=2$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:

$$ \frac{3(2) - 4}{9} + \frac{5(2) - 7}{6} = \frac{4(2) + 5}{18} $$

$$ \frac{6 - 4}{9} + \frac{10 - 7}{6} = \frac{8 + 5}{18} $$

$$ \frac{2}{9} + \frac{3}{6} = \frac{13}{18} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 18:

$$ \frac{2 \cdot 2}{18} + \frac{3 \cdot 3}{18} = \frac{13}{18} $$

$$ \frac{4}{18} + \frac{9}{18} = \frac{13}{18} $$

$$ \frac{13}{18} = \frac{13}{18} $$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: 2.

8 При каких значениях $p$ корнем уравнения $p(x+4) - (5-p) = 16$ является число 2?

По условию задачи, число 2 является корнем уравнения. Это означает, что если мы подставим $x = 2$ в исходное уравнение, то получим верное равенство.
Исходное уравнение:
$p(x + 4) - (5 - p) = 16$
Подставим в него значение $x = 2$:
$p(2 + 4) - (5 - p) = 16$
Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $p$.
Выполним сложение в скобках:
$p \cdot 6 - (5 - p) = 16$
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$6p - 5 + p = 16$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(6p + p) - 5 = 16$
$7p - 5 = 16$
Перенесем свободный член (-5) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$7p = 16 + 5$
$7p = 21$
Найдем $p$, разделив обе части уравнения на 7:
$p = \frac{21}{7}$
$p = 3$
Таким образом, уравнение имеет корень $x=2$ при значении параметра $p=3$.
Ответ: 3.

9 Запишите координаты точек, которые делят отрезок $AB$ на три равные части, если $A(-1)$, $B(8)$.

Для того чтобы найти координаты точек, которые делят отрезок AB на три равные части, необходимо сначала определить длину всего отрезка, а затем, зная длину каждой из трех частей, последовательно найти координаты искомых точек.

1. Нахождение длины отрезка AB

Даны координаты концов отрезка на координатной прямой: $A(-1)$ и $B(8)$. Длина отрезка вычисляется как модуль разности координат его концов.

Длина $AB = |x_B - x_A| = |8 - (-1)| = |8 + 1| = 9$.

2. Определение длины каждой из трех равных частей

Поскольку отрезок AB необходимо разделить на три равные части, длина каждой такой части будет равна общей длине отрезка, деленной на 3.

Длина одной части $= \frac{9}{3} = 3$.

3. Вычисление координат искомых точек

Обозначим искомые точки как C и D, так что они расположены в порядке A, C, D, B. Эти точки делят отрезок AB на три равных отрезка: AC, CD и DB, каждый из которых имеет длину 3.

Чтобы найти координату первой точки C, которая отстоит от точки A на одну часть, нужно к координате точки A прибавить длину одной части:

$x_C = x_A + 3 = -1 + 3 = 2$.

Чтобы найти координату второй точки D, которая отстоит от точки C на одну часть, нужно к координате точки C прибавить длину одной части:

$x_D = x_C + 3 = 2 + 3 = 5$.

Таким образом, мы получили две точки, делящие отрезок AB на три равные части. Их координаты — 2 и 5.

Для проверки убедимся, что расстояние от второй точки D до конца отрезка B также равно 3:

Длина $DB = |x_B - x_D| = |8 - 5| = 3$.

Все три полученных отрезка (AC, CD, DB) имеют одинаковую длину, равную 3, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 2 и 5.

10 Найдите координаты точек, отстоящих на расстояние 4,5 единичного отрезка от точки $M(2,3)$.

Искомые точки — это все точки на плоскости, расстояние от которых до точки $M(2, 3)$ равно $4,5$. Геометрическое место таких точек представляет собой окружность.

Центром этой окружности является точка $M(2, 3)$, а ее радиус $r$ равен заданному расстоянию, то есть $r = 4,5$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ выглядит так:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

Подставим в это уравнение координаты центра $M(2, 3)$ и значение радиуса $r = 4,5$:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4,5^2$

Вычислим квадрат радиуса: $4,5^2 = 20,25$.
Таким образом, уравнение, которому удовлетворяют координаты $(x, y)$ всех искомых точек, имеет вид:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 20,25$

Любая точка, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, является решением. Поскольку в задаче спрашивается о "точках" (во множественном числе), можно привести несколько конкретных примеров. Наиболее простые для нахождения — это точки, лежащие на горизонтальной и вертикальной прямых, проходящих через центр окружности:

• $(2+4,5; 3) = (6,5; 3)$
• $(2-4,5; 3) = (-2,5; 3)$
• $(2; 3+4,5) = (2; 7,5)$
• $(2; 3-4,5) = (2; -1,5)$

Ответ: Координаты $(x, y)$ всех искомых точек образуют окружность, которая задается уравнением $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 20,25$.

11 В ряд выписаны все цифры, которые встречаются (с повторениями) в записи уравнений из заданий 6 и 7. Каков объём и размах этого ряда? Найдите моду ряда (моды, если их несколько).

Для ответа на этот вопрос необходимо знать точное содержание уравнений из заданий 6 и 7, которые в условии не приведены. Поэтому решение будет продемонстрировано на примере гипотетического набора уравнений.

Допустим, в заданиях 6 и 7 были следующие уравнения:

Задание 6:

а) $2x + 15 = 31$

б) $8(y - 1) = 48$

Задание 7:

а) $x^2 + 5x - 14 = 0$

б) $10 - 3z = 1$

Первым шагом выпишем все цифры, которые встречаются в записи этих уравнений (с учётом повторений). Учитываются цифры в числах, коэффициентах, степенях.

• Из уравнения $2x + 15 = 31$ получаем цифры: $2, 1, 5, 3, 1$.
• Из уравнения $8(y - 1) = 48$ получаем цифры: $8, 1, 4, 8$.
• Из уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ получаем цифры: $2$ (из степени), $5, 1, 4, 0$.
• Из уравнения $10 - 3z = 1$ получаем цифры: $1, 0, 3, 1$.

Соберем все эти цифры в один статистический ряд:

$2, 1, 5, 3, 1, 8, 1, 4, 8, 2, 5, 1, 4, 0, 1, 0, 3, 1$.

Для удобства дальнейшего анализа упорядочим этот ряд по возрастанию:

$0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8$.

Теперь найдём требуемые характеристики этого ряда.

Объём ряда

Объём ряда — это общее количество элементов (цифр) в нём. Для нахождения объёма достаточно посчитать все выписанные цифры.

В нашем ряду $18$ элементов.

Ответ: 18.

Размах этого ряда

Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим элементами.

Наибольший элемент в ряду: $x_{max} = 8$.

Наименьший элемент в ряду: $x_{min} = 0$.

Размах $R$ вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.

$R = 8 - 0 = 8$.

Ответ: 8.

Мода ряда

Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто. Если таких значений несколько, то все они являются модами.

Для нахождения моды подсчитаем частоту появления каждой цифры в упорядоченном ряду: $0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8$.

• Цифра 0 встречается 2 раза.
• Цифра 1 встречается 6 раз.
• Цифра 2 встречается 2 раза.
• Цифра 3 встречается 2 раза.
• Цифра 4 встречается 2 раза.
• Цифра 5 встречается 2 раза.
• Цифра 8 встречается 2 раза.

Наибольшая частота — 6, она соответствует цифре 1. Следовательно, мода данного ряда одна.

Ответ: 1.