Страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.29 Постройте прямую, симметричную прямой $AB$:

а) относительно оси $x$, если $A(4; 1)$, $B(-1; -4)$;

б) относительно оси $y$, если $A(0; 3)$, $B(-3; 0)$;

в) относительно оси $x$, если $A(-2; 0)$, $B(0; 6)$;

г) относительно оси $y$, если $A(-6; -3)$, $B(4; 2)$.

Чтобы построить прямую, симметричную данной прямой относительно одной из координатных осей, нужно найти координаты двух точек, симметричных любым двум точкам на исходной прямой, а затем провести через эти новые точки искомую прямую.

Правила нахождения координат симметричных точек:

• При симметрии относительно оси $x$ (оси абсцисс) точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x; -y)$.
• При симметрии относительно оси $y$ (оси ординат) точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $x$.
Для точки $A(4; 1)$ симметричной будет точка $A'(4; -1)$.
Для точки $B(-1; -4)$ симметричной будет точка $B'(-1; -(-4))$, то есть $B'(-1; 4)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(4; -1)$ и $B'(-1; 4)$. Для построения достаточно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.
Найдем уравнение этой прямой, используя формулу $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$:
$\frac{y - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{x - 4}{-1 - 4}$
$\frac{y + 1}{5} = \frac{x - 4}{-5}$
$y + 1 = -(x - 4)$
$y + 1 = -x + 4$
$y = -x + 3$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(4; -1)$ и $B'(-1; 4)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $y$.
Точка $A(0; 3)$ лежит на оси $y$, поэтому она отображается сама на себя: $A'(0; 3)$.
Для точки $B(-3; 0)$ симметричной будет точка $B'(-(-3); 0)$, то есть $B'(3; 0)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(0; 3)$ и $B'(3; 0)$.
Найдем уравнение этой прямой:
$\frac{y - 3}{0 - 3} = \frac{x - 0}{3 - 0}$
$\frac{y - 3}{-3} = \frac{x}{3}$
$y - 3 = -x$
$y = -x + 3$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(0; 3)$ и $B'(3; 0)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $x$.
Точка $A(-2; 0)$ лежит на оси $x$, поэтому она отображается сама на себя: $A'(-2; 0)$.
Для точки $B(0; 6)$ симметричной будет точка $B'(0; -6)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(-2; 0)$ и $B'(0; -6)$.
Найдем уравнение этой прямой:
$\frac{y - 0}{-6 - 0} = \frac{x - (-2)}{0 - (-2)}$
$\frac{y}{-6} = \frac{x + 2}{2}$
$y = -3(x + 2)$
$y = -3x - 6$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(-2; 0)$ и $B'(0; -6)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $y$.
Для точки $A(-6; -3)$ симметричной будет точка $A'(-(-6); -3)$, то есть $A'(6; -3)$.
Для точки $B(4; 2)$ симметричной будет точка $B'(-4; 2)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(6; -3)$ и $B'(-4; 2)$.
Найдем уравнение этой прямой:
$\frac{y - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{x - 6}{-4 - 6}$
$\frac{y + 3}{5} = \frac{x - 6}{-10}$
$y + 3 = -\frac{1}{2}(x - 6)$
$y + 3 = -0.5x + 3$
$y = -0.5x$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(6; -3)$ и $B'(-4; 2)$.

7.30 Постройте:

а) $\Delta ABC$, если $A(6; 0)$, $B(2; -3)$, $C(3; 2);$

б) $\Delta A_1B_1C_1$, симметричный $\Delta ABC$ относительно оси $x;$

в) $\Delta A_2B_2C_2$, симметричный $\Delta ABC$ относительно оси $y;$

г) $\Delta A_3B_3C_3$, симметричный $\Delta ABC$ относительно начала координат.

а) $\triangle ABC$, если A(6; 0), B(2; -3), C(3; 2);

Для того чтобы построить треугольник $\triangle ABC$ на координатной плоскости, необходимо отметить точки по их заданным координатам: A(6; 0), B(2; -3) и C(3; 2). Затем следует соединить эти точки отрезками AB, BC и CA. В результате получится искомый треугольник $\triangle ABC$.

Ответ: Треугольник $\triangle ABC$ строится по вершинам с координатами A(6; 0), B(2; -3), C(3; 2).

б) $\triangle A_1B_1C_1$, симметричный $\triangle ABC$ относительно оси $x$;

При симметрии относительно оси абсцисс (оси $x$) каждая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x; -y)$. Чтобы найти вершины треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, симметричного $\triangle ABC$, применим это правило к каждой его вершине.

A(6; 0) $\rightarrow$ $A_1(6; -0) = A_1(6; 0)$.

B(2; -3) $\rightarrow$ $B_1(2; -(-3)) = B_1(2; 3)$.

C(3; 2) $\rightarrow$ $C_1(3; -2)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника $\triangle A_1B_1C_1$: $A_1(6; 0), B_1(2; 3), C_1(3; -2)$.

в) $\triangle A_2B_2C_2$, симметричный $\triangle ABC$ относительно оси $y$;

При симметрии относительно оси ординат (оси $y$) каждая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$. Найдем координаты вершин треугольника $\triangle A_2B_2C_2$.

A(6; 0) $\rightarrow$ $A_2(-6; 0)$.

B(2; -3) $\rightarrow$ $B_2(-2; -3)$.

C(3; 2) $\rightarrow$ $C_2(-3; 2)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника $\triangle A_2B_2C_2$: $A_2(-6; 0), B_2(-2; -3), C_2(-3; 2)$.

г) $\triangle A_3B_3C_3$, симметричный $\triangle ABC$ относительно начала координат.

При симметрии относительно начала координат каждая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y)$. Найдем координаты вершин треугольника $\triangle A_3B_3C_3$.

A(6; 0) $\rightarrow$ $A_3(-6; -0) = A_3(-6; 0)$.

B(2; -3) $\rightarrow$ $B_3(-2; -(-3)) = B_3(-2; 3)$.

C(3; 2) $\rightarrow$ $C_3(-3; -2)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника $\triangle A_3B_3C_3$: $A_3(-6; 0), B_3(-2; 3), C_3(-3; -2)$.

7.31 Даны три вершины $A(1; 1)$, $B(1; 3)$, $C(3; 3)$ квадрата $ABCD$. Найдите координаты точки $D$, постройте этот квадрат и ещё три квадрата, один из которых расположен ниже данного на пять единиц, второй — на две единицы правее данного, третий — на три единицы ниже и пять единиц левее данного. Назовите координаты вершин третьего квадрата $A_3B_3C_3D_3$.

Найдите координаты точки D, постройте этот квадрат

Даны три вершины квадрата $ABCD$: $A(1; 1)$, $B(1; 3)$ и $C(3; 3)$. Чтобы найти координаты четвертой вершины $D(x; y)$, можно воспользоваться свойством векторов в квадрате. В квадрате, как и в любом параллелограмме, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Воспользуемся равенством векторов $\vec{AD} = \vec{BC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (3 - 1; 3 - 3) = (2; 0)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 1; y - 1)$.

3. Приравняем соответствующие координаты векторов, так как $\vec{AD} = \vec{BC}$:

• $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
• $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(3; 1)$.
"Построить квадрат" в данном контексте означает определить координаты всех его вершин. Таким образом, вершины исходного квадрата $ABCD$ имеют координаты: $A(1; 1)$, $B(1; 3)$, $C(3; 3)$ и $D(3; 1)$.

Ответ: Координаты точки $D$ равны $(3; 1)$.

Постройте ещё три квадрата ... и назовите координаты вершин третьего квадрата $A_3B_3C_3D_3$

Построение новых квадратов выполняется с помощью параллельного переноса (смещения) исходного квадрата $ABCD$. При параллельном переносе на вектор $(a; b)$ каждая вершина $(x; y)$ фигуры переходит в новую вершину с координатами $(x+a; y+b)$.

Первый квадрат (на 5 единиц ниже)

Перенос осуществляется на вектор $(0; -5)$.

• $A(1; 1) \rightarrow A_1(1+0; 1-5) = A_1(1; -4)$
• $B(1; 3) \rightarrow B_1(1+0; 3-5) = B_1(1; -2)$
• $C(3; 3) \rightarrow C_1(3+0; 3-5) = C_1(3; -2)$
• $D(3; 1) \rightarrow D_1(3+0; 1-5) = D_1(3; -4)$

Второй квадрат (на 2 единицы правее)

Перенос осуществляется на вектор $(2; 0)$.

• $A(1; 1) \rightarrow A_2(1+2; 1+0) = A_2(3; 1)$
• $B(1; 3) \rightarrow B_2(1+2; 3+0) = B_2(3; 3)$
• $C(3; 3) \rightarrow C_2(3+2; 3+0) = C_2(5; 3)$
• $D(3; 1) \rightarrow D_2(3+2; 1+0) = D_2(5; 1)$

Третий квадрат (на 3 единицы ниже и 5 единиц левее)

Перенос осуществляется на вектор $(-5; -3)$.

• $A(1; 1) \rightarrow A_3(1-5; 1-3) = A_3(-4; -2)$
• $B(1; 3) \rightarrow B_3(1-5; 3-3) = B_3(-4; 0)$
• $C(3; 3) \rightarrow C_3(3-5; 3-3) = C_3(-2; 0)$
• $D(3; 1) \rightarrow D_3(3-5; 1-3) = D_3(-2; -2)$

Координаты вершин третьего квадрата $A_3B_3C_3D_3$ найдены в процессе его построения.

Ответ: Координаты вершин третьего квадрата: $A_3(-4; -2)$, $B_3(-4; 0)$, $C_3(-2; 0)$, $D_3(-2; -2)$.

7.32 Запишите координаты точек, с помощью которых можно построить цифры, изображённые на рис. 7:

а) цифра 1;

б) цифра 3;

в) цифра 5;

г) цифра 8.

Поскольку в условии задачи не предоставлен рисунок 7, мы определим координаты точек для построения стилизованных цифр на координатной плоскости. Мы будем задавать последовательность вершин, которые нужно соединить отрезками, чтобы получить изображение каждой цифры. Для всех цифр будем использовать целочисленные координаты в рамках воображаемой сетки.

а) цифра 1;

Для построения цифры 1 можно использовать ломаную линию, состоящую из трех вершин. Соединяя эти точки последовательно, мы получаем узнаваемое изображение единицы с небольшим «носиком» вверху и вертикальной «ножкой».

Координаты точек для построения цифры 1:

1. Начальная точка: $(1, 5)$
2. Верхняя точка: $(2, 6)$
3. Конечная точка: $(2, 1)$

Сначала соединяем точку $(1, 5)$ с точкой $(2, 6)$, а затем точку $(2, 6)$ с точкой $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 5), (2, 6), (2, 1)$.

б) цифра 3;

Цифру 3 можно нарисовать с помощью одной непрерывной ломаной линии. Выберем последовательность точек так, чтобы она образовывала контур, похожий на печатную цифру 3.

Координаты точек для построения цифры 3:

1. $(0, 6)$
2. $(3, 6)$
3. $(3, 5)$
4. $(1, 4)$
5. $(3, 3)$
6. $(3, 0)$
7. $(0, 0)$

Последовательно соединяя эти точки отрезками, мы получим стилизованное изображение цифры 3.

Ответ: $(0, 6), (3, 6), (3, 5), (1, 4), (3, 3), (3, 0), (0, 0)$.

в) цифра 5;

Цифру 5, как и цифру 3, можно изобразить с помощью одной непрерывной ломаной линии. Точки подбираются таким образом, чтобы сформировать характерные для пятерки горизонтальные и вертикальные участки, а также изгиб.

Координаты точек для построения цифры 5:

1. $(3, 6)$
2. $(0, 6)$
3. $(0, 3)$
4. $(3, 3)$
5. $(3, 0)$
6. $(0, 0)$

Последовательное соединение этих точек отрезками формирует изображение цифры 5.

Ответ: $(3, 6), (0, 6), (0, 3), (3, 3), (3, 0), (0, 0)$.

г) цифра 8.

Цифру 8 можно нарисовать одной непрерывной линией, которая пересекает саму себя. Такая линия образует две петли, характерные для восьмерки. Мы начнем с центрального пересечения, нарисуем контур цифры и завершим средней перекладиной.

Координаты точек для построения цифры 8:

1. $(0, 3)$
2. $(0, 6)$
3. $(3, 6)$
4. $(3, 0)$
5. $(0, 0)$
6. $(0, 3)$ (возврат в начальную точку для замыкания контура)
7. $(3, 3)$ (для создания средней перекладины)

Ломаная линия, построенная по этим точкам, образует замкнутый контур с перекладиной посередине, что соответствует изображению цифры 8.

Ответ: $(0, 3), (0, 6), (3, 6), (3, 0), (0, 0), (0, 3), (3, 3)$.

7.33 Найдите координаты вершин $C$ и $D$ квадрата $ABCD$, если известны координаты вершин $A(3; 1)$ и $B(3; -4)$. Сколько решений имеет задача?

Найдите координаты вершин C и D квадрата ABCD

Даны координаты двух соседних вершин квадрата $ABCD$: $A(3; 1)$ и $B(3; -4)$.

1. Найдем длину стороны квадрата. Она равна расстоянию между точками $A$ и $B$. Для этого сначала найдем вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 3; -4 - 1) = (0; -5)$.

Длина стороны квадрата $a$ равна модулю (длине) вектора $\vec{AB}$:

$a = |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

2. Определим возможные положения вершин $C$ и $D$.

Так как абсциссы точек $A$ и $B$ одинаковы, сторона $AB$ является вертикальным отрезком. Следовательно, смежные с ней стороны $BC$ и $AD$ должны быть ей перпендикулярны, то есть быть горизонтальными, и иметь такую же длину, равную 5.

Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ должны быть перпендикулярны вектору $\vec{AB}=(0; -5)$ и иметь длину 5. Существует два таких вектора: $(5; 0)$ (направлен вправо) и $(-5; 0)$ (направлен влево). Это приводит к двум возможным решениям, так как квадрат можно построить по обе стороны от отрезка $AB$.

Случай 1: Квадрат расположен справа от стороны AB.

В этом случае векторы смещения $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны $(5; 0)$.

Координаты точки $D$ находим, прибавив вектор $\vec{AD}$ к координатам точки $A$:

$D = (x_A + 5; y_A + 0) = (3 + 5; 1 + 0) = (8; 1)$.

Координаты точки $C$ находим, прибавив вектор $\vec{BC}$ к координатам точки $B$:

$C = (x_B + 5; y_B + 0) = (3 + 5; -4 + 0) = (8; -4)$.

Случай 2: Квадрат расположен слева от стороны AB.

В этом случае векторы смещения $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны $(-5; 0)$.

Координаты точки $D$:

$D = (x_A - 5; y_A + 0) = (3 - 5; 1 + 0) = (-2; 1)$.

Координаты точки $C$:

$C = (x_B - 5; y_B + 0) = (3 - 5; -4 + 0) = (-2; -4)$.

Ответ: Возможны два набора координат: 1) $C(8; -4)$ и $D(8; 1)$; 2) $C(-2; -4)$ и $D(-2; 1)$.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано в ходе решения, на отрезке $AB$ как на стороне можно построить два различных квадрата, которые будут удовлетворять условиям задачи (один справа от отрезка, другой слева). Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

7.34 Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD: $A(2; -2)$ и $C(-2; 2)$. Найдите координаты двух других вершин. Сколько решений имеет задача?

Рис. 7

Найдите координаты двух других вершин.

Пусть даны противоположные вершины квадрата $ABCD$ — $A(2; -2)$ и $C(-2; 2)$. Требуется найти координаты двух других вершин, $B$ и $D$.

Диагонали квадрата пересекаются в одной точке, которая является их серединой. Найдем координаты центра квадрата $O$, который является серединой диагонали $AC$: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$ $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0$ Таким образом, центр квадрата — это начало координат, точка $O(0; 0)$.

Диагонали квадрата также перпендикулярны и равны по длине. Это означает, что вектор $\vec{OB}$ перпендикулярен вектору $\vec{OA}$ и их длины равны. Найдем вектор $\vec{OA}$: $\vec{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O) = (2 - 0; -2 - 0) = (2; -2)$.

Пусть вершина $B$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда вектор $\vec{OB} = (x; y)$. Из условия перпендикулярности векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ следует, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2 \cdot x + (-2) \cdot y = 0 \implies 2x - 2y = 0 \implies x = y$.

Из условия равенства длин половин диагоналей следует, что $|\vec{OB}|^2 = |\vec{OA}|^2$: $|\vec{OA}|^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$. $|\vec{OB}|^2 = x^2 + y^2 = 8$.

Получаем систему уравнений для нахождения координат точки $B$: $\begin{cases} x = y \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$ Подставим первое уравнение во второе: $x^2 + x^2 = 8 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Поскольку $x=y$, возможные координаты для одной из вершин (например, $B$) — это $(2; 2)$ или $(-2; -2)$. Вершина $D$ является противоположной вершине $B$, а значит, она симметрична ей относительно центра $O(0; 0)$.

• Если координаты одной вершины $(2; 2)$, то координаты другой будут $(-2; -2)$.
• Если координаты одной вершины $(-2; -2)$, то координаты другой будут $(2; 2)$.

Таким образом, искомые вершины имеют координаты $(2; 2)$ и $(-2; -2)$.

Ответ: Координаты двух других вершин — $(2; 2)$ и $(-2; -2)$.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два решения, так как существует два способа присвоить найденные координаты вершинам $B$ и $D$ для именованного квадрата $ABCD$.

1. Решение 1: $B(2; 2)$ и $D(-2; -2)$.
   В этом случае последовательность вершин $A(2; -2) \rightarrow B(2; 2) \rightarrow C(-2; 2) \rightarrow D(-2; -2)$ образует квадрат при обходе по часовой стрелке.
2. Решение 2: $B(-2; -2)$ и $D(2; 2)$.
   В этом случае последовательность вершин $A(2; -2) \rightarrow B(-2; -2) \rightarrow C(-2; 2) \rightarrow D(2; 2)$ образует квадрат при обходе против часовой стрелки.

Поскольку в каждом решении вершина $B$ (и, соответственно, $D$) имеет разные координаты, эти решения являются различными.

Ответ: Задача имеет 2 решения.