Номер 7.29, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7.29 Постройте прямую, симметричную прямой $AB$:

а) относительно оси $x$, если $A(4; 1)$, $B(-1; -4)$;

б) относительно оси $y$, если $A(0; 3)$, $B(-3; 0)$;

в) относительно оси $x$, если $A(-2; 0)$, $B(0; 6)$;

г) относительно оси $y$, если $A(-6; -3)$, $B(4; 2)$.

Чтобы построить прямую, симметричную данной прямой относительно одной из координатных осей, нужно найти координаты двух точек, симметричных любым двум точкам на исходной прямой, а затем провести через эти новые точки искомую прямую.

Правила нахождения координат симметричных точек:

• При симметрии относительно оси $x$ (оси абсцисс) точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x; -y)$.
• При симметрии относительно оси $y$ (оси ординат) точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $x$.
Для точки $A(4; 1)$ симметричной будет точка $A'(4; -1)$.
Для точки $B(-1; -4)$ симметричной будет точка $B'(-1; -(-4))$, то есть $B'(-1; 4)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(4; -1)$ и $B'(-1; 4)$. Для построения достаточно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.
Найдем уравнение этой прямой, используя формулу $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$:
$\frac{y - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{x - 4}{-1 - 4}$
$\frac{y + 1}{5} = \frac{x - 4}{-5}$
$y + 1 = -(x - 4)$
$y + 1 = -x + 4$
$y = -x + 3$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(4; -1)$ и $B'(-1; 4)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $y$.
Точка $A(0; 3)$ лежит на оси $y$, поэтому она отображается сама на себя: $A'(0; 3)$.
Для точки $B(-3; 0)$ симметричной будет точка $B'(-(-3); 0)$, то есть $B'(3; 0)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(0; 3)$ и $B'(3; 0)$.
Найдем уравнение этой прямой:
$\frac{y - 3}{0 - 3} = \frac{x - 0}{3 - 0}$
$\frac{y - 3}{-3} = \frac{x}{3}$
$y - 3 = -x$
$y = -x + 3$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(0; 3)$ и $B'(3; 0)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $x$.
Точка $A(-2; 0)$ лежит на оси $x$, поэтому она отображается сама на себя: $A'(-2; 0)$.
Для точки $B(0; 6)$ симметричной будет точка $B'(0; -6)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(-2; 0)$ и $B'(0; -6)$.
Найдем уравнение этой прямой:
$\frac{y - 0}{-6 - 0} = \frac{x - (-2)}{0 - (-2)}$
$\frac{y}{-6} = \frac{x + 2}{2}$
$y = -3(x + 2)$
$y = -3x - 6$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(-2; 0)$ и $B'(0; -6)$.

Найдем координаты точек $A'$ и $B'$, симметричных точкам $A$ и $B$ относительно оси $y$.
Для точки $A(-6; -3)$ симметричной будет точка $A'(-(-6); -3)$, то есть $A'(6; -3)$.
Для точки $B(4; 2)$ симметричной будет точка $B'(-4; 2)$.
Искомая прямая $A'B'$ проходит через точки $A'(6; -3)$ и $B'(-4; 2)$.
Найдем уравнение этой прямой:
$\frac{y - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{x - 6}{-4 - 6}$
$\frac{y + 3}{5} = \frac{x - 6}{-10}$
$y + 3 = -\frac{1}{2}(x - 6)$
$y + 3 = -0.5x + 3$
$y = -0.5x$
Ответ: искомая прямая проходит через точки $A'(6; -3)$ и $B'(-4; 2)$.