Номер 7.35, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Линейная функция. Параграф 7. Координатная плоскость - номер 7.35, страница 41.

Условие.

7.35 Длина стороны квадрата $ABCD$ равна 6, а координаты вершины $A$ равны $(-2; 3)$. Найдите координаты остальных вершин, зная, что сторона $AB$ квадрата параллельна оси ординат и что начало координат лежит внутри квадрата.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

По условию, сторона квадрата $ABCD$ равна 6, вершина $A$ имеет координаты $(-2; 3)$, а сторона $AB$ параллельна оси ординат ($Oy$). Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат на одной вертикальной прямой, поэтому их абсциссы (координаты $x$) равны. Следовательно, абсцисса точки $B$ также равна -2.

Длина стороны $AB$ равна 6. Расстояние между точками $A(-2; 3)$ и $B(-2; y_B)$ равно $|y_B - 3|$. Таким образом, получаем уравнение:

$|y_B - 3| = 6$

Это уравнение имеет два возможных решения для ординаты точки $B$:

1. $y_B - 3 = 6 \implies y_B = 9$. Координаты $B$ равны $(-2; 9)$.

2. $y_B - 3 = -6 \implies y_B = -3$. Координаты $B$ равны $(-2; -3)$.

Рассмотрим оба случая, учитывая, что стороны квадрата, смежные со стороной $AB$ (то есть $AD$ и $BC$), должны быть ей перпендикулярны. Так как $AB$ параллельна оси $Oy$, то $AD$ и $BC$ должны быть параллельны оси абсцисс ($Ox$).

Случай 1: Координаты вершины B равны (-2; -3).

Стороны $AD$ и $BC$ параллельны оси $Ox$ и имеют длину 6. Это означает, что ординаты точек $A$ и $D$ равны, а ординаты точек $B$ и $C$ также равны. То есть $y_D = y_A = 3$ и $y_C = y_B = -3$.

Длина стороны $AD$ равна 6, значит $|x_D - x_A| = |x_D - (-2)| = 6$. Отсюда $x_D$ может быть равен $4$ или $-8$.

а) Если $x_D = 4$, то координаты вершины $D$ — $(4; 3)$. Тогда и абсцисса вершины $C$ будет равна 4, то есть $C(4; -3)$. Получаем квадрат с вершинами $A(-2; 3), B(-2; -3), C(4; -3), D(4; 3)$. Проверим, лежит ли начало координат $(0; 0)$ внутри этого квадрата. Координаты $x$ вершин изменяются от -2 до 4, а координаты $y$ — от -3 до 3. Условия $-2 < 0 < 4$ и $-3 < 0 < 3$ выполняются. Следовательно, этот вариант подходит.

б) Если $x_D = -8$, то координаты вершины $D$ — $(-8; 3)$. Тогда и абсцисса вершины $C$ будет равна -8, то есть $C(-8; -3)$. В этом случае координаты $x$ вершин квадрата изменяются от -8 до -2. Условие $-8 < 0 < -2$ не выполняется, поэтому начало координат не лежит внутри этого квадрата. Этот вариант не подходит.

Случай 2: Координаты вершины B равны (-2; 9).

Аналогично первому случаю, $y_D = y_A = 3$ и $y_C = y_B = 9$.

Из $|x_D - x_A| = 6$ снова получаем $x_D = 4$ или $x_D = -8$.

а) Если $x_D = 4$, то $D(4; 3)$ и $C(4; 9)$. Координаты $y$ вершин квадрата изменяются от 3 до 9. Условие $3 < 0 < 9$ не выполняется. Вариант не подходит.

б) Если $x_D = -8$, то $D(-8; 3)$ и $C(-8; 9)$. Координаты $x$ вершин квадрата изменяются от -8 до -2. Условие $-8 < 0 < -2$ не выполняется. Вариант не подходит.

Таким образом, единственно возможным решением является квадрат, найденный в первом случае (а).

Ответ: Координаты остальных вершин: $B(-2; -3)$, $C(4; -3)$, $D(4; 3)$.