Номер 7.33, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 7. Координатная плоскость. Глава 2. Линейная функция. Часть 2 - номер 7.33, страница 40.

Условие.

7.33 Найдите координаты вершин $C$ и $D$ квадрата $ABCD$, если известны координаты вершин $A(3; 1)$ и $B(3; -4)$. Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Найдите координаты вершин C и D квадрата ABCD

Даны координаты двух соседних вершин квадрата $ABCD$: $A(3; 1)$ и $B(3; -4)$.

1. Найдем длину стороны квадрата. Она равна расстоянию между точками $A$ и $B$. Для этого сначала найдем вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 3; -4 - 1) = (0; -5)$.

Длина стороны квадрата $a$ равна модулю (длине) вектора $\vec{AB}$:

$a = |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

2. Определим возможные положения вершин $C$ и $D$.

Так как абсциссы точек $A$ и $B$ одинаковы, сторона $AB$ является вертикальным отрезком. Следовательно, смежные с ней стороны $BC$ и $AD$ должны быть ей перпендикулярны, то есть быть горизонтальными, и иметь такую же длину, равную 5.

Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ должны быть перпендикулярны вектору $\vec{AB}=(0; -5)$ и иметь длину 5. Существует два таких вектора: $(5; 0)$ (направлен вправо) и $(-5; 0)$ (направлен влево). Это приводит к двум возможным решениям, так как квадрат можно построить по обе стороны от отрезка $AB$.

Случай 1: Квадрат расположен справа от стороны AB.

В этом случае векторы смещения $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны $(5; 0)$.

Координаты точки $D$ находим, прибавив вектор $\vec{AD}$ к координатам точки $A$:

$D = (x_A + 5; y_A + 0) = (3 + 5; 1 + 0) = (8; 1)$.

Координаты точки $C$ находим, прибавив вектор $\vec{BC}$ к координатам точки $B$:

$C = (x_B + 5; y_B + 0) = (3 + 5; -4 + 0) = (8; -4)$.

Случай 2: Квадрат расположен слева от стороны AB.

В этом случае векторы смещения $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны $(-5; 0)$.

Координаты точки $D$:

$D = (x_A - 5; y_A + 0) = (3 - 5; 1 + 0) = (-2; 1)$.

Координаты точки $C$:

$C = (x_B - 5; y_B + 0) = (3 - 5; -4 + 0) = (-2; -4)$.

Ответ: Возможны два набора координат: 1) $C(8; -4)$ и $D(8; 1)$; 2) $C(-2; -4)$ и $D(-2; 1)$.

Сколько решений имеет задача?

Как было показано в ходе решения, на отрезке $AB$ как на стороне можно построить два различных квадрата, которые будут удовлетворять условиям задачи (один справа от отрезка, другой слева). Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2.