Номер 7.34, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 2. Линейная функция. Параграф 7. Координатная плоскость - номер 7.34, страница 40.

Условие.

7.34 Известны координаты двух противоположных вершин квадрата ABCD: $A(2; -2)$ и $C(-2; 2)$. Найдите координаты двух других вершин. Сколько решений имеет задача?

Рис. 7

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Найдите координаты двух других вершин.

Пусть даны противоположные вершины квадрата $ABCD$ — $A(2; -2)$ и $C(-2; 2)$. Требуется найти координаты двух других вершин, $B$ и $D$.

Диагонали квадрата пересекаются в одной точке, которая является их серединой. Найдем координаты центра квадрата $O$, который является серединой диагонали $AC$: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = 0$ $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0$ Таким образом, центр квадрата — это начало координат, точка $O(0; 0)$.

Диагонали квадрата также перпендикулярны и равны по длине. Это означает, что вектор $\vec{OB}$ перпендикулярен вектору $\vec{OA}$ и их длины равны. Найдем вектор $\vec{OA}$: $\vec{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O) = (2 - 0; -2 - 0) = (2; -2)$.

Пусть вершина $B$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда вектор $\vec{OB} = (x; y)$. Из условия перпендикулярности векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ следует, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2 \cdot x + (-2) \cdot y = 0 \implies 2x - 2y = 0 \implies x = y$.

Из условия равенства длин половин диагоналей следует, что $|\vec{OB}|^2 = |\vec{OA}|^2$: $|\vec{OA}|^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$. $|\vec{OB}|^2 = x^2 + y^2 = 8$.

Получаем систему уравнений для нахождения координат точки $B$: $\begin{cases} x = y \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$ Подставим первое уравнение во второе: $x^2 + x^2 = 8 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Поскольку $x=y$, возможные координаты для одной из вершин (например, $B$) — это $(2; 2)$ или $(-2; -2)$. Вершина $D$ является противоположной вершине $B$, а значит, она симметрична ей относительно центра $O(0; 0)$.

• Если координаты одной вершины $(2; 2)$, то координаты другой будут $(-2; -2)$.
• Если координаты одной вершины $(-2; -2)$, то координаты другой будут $(2; 2)$.

Таким образом, искомые вершины имеют координаты $(2; 2)$ и $(-2; -2)$.

Ответ: Координаты двух других вершин — $(2; 2)$ и $(-2; -2)$.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два решения, так как существует два способа присвоить найденные координаты вершинам $B$ и $D$ для именованного квадрата $ABCD$.

1. Решение 1: $B(2; 2)$ и $D(-2; -2)$.
   В этом случае последовательность вершин $A(2; -2) \rightarrow B(2; 2) \rightarrow C(-2; 2) \rightarrow D(-2; -2)$ образует квадрат при обходе по часовой стрелке.
2. Решение 2: $B(-2; -2)$ и $D(2; 2)$.
   В этом случае последовательность вершин $A(2; -2) \rightarrow B(-2; -2) \rightarrow C(-2; 2) \rightarrow D(2; 2)$ образует квадрат при обходе против часовой стрелки.

Поскольку в каждом решении вершина $B$ (и, соответственно, $D$) имеет разные координаты, эти решения являются различными.

Ответ: Задача имеет 2 решения.