Номер 7.31, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7.31 Даны три вершины $A(1; 1)$, $B(1; 3)$, $C(3; 3)$ квадрата $ABCD$. Найдите координаты точки $D$, постройте этот квадрат и ещё три квадрата, один из которых расположен ниже данного на пять единиц, второй — на две единицы правее данного, третий — на три единицы ниже и пять единиц левее данного. Назовите координаты вершин третьего квадрата $A_3B_3C_3D_3$.

Найдите координаты точки D, постройте этот квадрат

Даны три вершины квадрата $ABCD$: $A(1; 1)$, $B(1; 3)$ и $C(3; 3)$. Чтобы найти координаты четвертой вершины $D(x; y)$, можно воспользоваться свойством векторов в квадрате. В квадрате, как и в любом параллелограмме, векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Воспользуемся равенством векторов $\vec{AD} = \vec{BC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (3 - 1; 3 - 3) = (2; 0)$.

2. Выразим координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 1; y - 1)$.

3. Приравняем соответствующие координаты векторов, так как $\vec{AD} = \vec{BC}$:

• $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
• $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(3; 1)$.
"Построить квадрат" в данном контексте означает определить координаты всех его вершин. Таким образом, вершины исходного квадрата $ABCD$ имеют координаты: $A(1; 1)$, $B(1; 3)$, $C(3; 3)$ и $D(3; 1)$.

Ответ: Координаты точки $D$ равны $(3; 1)$.

Постройте ещё три квадрата ... и назовите координаты вершин третьего квадрата $A_3B_3C_3D_3$

Построение новых квадратов выполняется с помощью параллельного переноса (смещения) исходного квадрата $ABCD$. При параллельном переносе на вектор $(a; b)$ каждая вершина $(x; y)$ фигуры переходит в новую вершину с координатами $(x+a; y+b)$.

Первый квадрат (на 5 единиц ниже)

Перенос осуществляется на вектор $(0; -5)$.

• $A(1; 1) \rightarrow A_1(1+0; 1-5) = A_1(1; -4)$
• $B(1; 3) \rightarrow B_1(1+0; 3-5) = B_1(1; -2)$
• $C(3; 3) \rightarrow C_1(3+0; 3-5) = C_1(3; -2)$
• $D(3; 1) \rightarrow D_1(3+0; 1-5) = D_1(3; -4)$

Второй квадрат (на 2 единицы правее)

Перенос осуществляется на вектор $(2; 0)$.

• $A(1; 1) \rightarrow A_2(1+2; 1+0) = A_2(3; 1)$
• $B(1; 3) \rightarrow B_2(1+2; 3+0) = B_2(3; 3)$
• $C(3; 3) \rightarrow C_2(3+2; 3+0) = C_2(5; 3)$
• $D(3; 1) \rightarrow D_2(3+2; 1+0) = D_2(5; 1)$

Третий квадрат (на 3 единицы ниже и 5 единиц левее)

Перенос осуществляется на вектор $(-5; -3)$.

• $A(1; 1) \rightarrow A_3(1-5; 1-3) = A_3(-4; -2)$
• $B(1; 3) \rightarrow B_3(1-5; 3-3) = B_3(-4; 0)$
• $C(3; 3) \rightarrow C_3(3-5; 3-3) = C_3(-2; 0)$
• $D(3; 1) \rightarrow D_3(3-5; 1-3) = D_3(-2; -2)$

Координаты вершин третьего квадрата $A_3B_3C_3D_3$ найдены в процессе его построения.

Ответ: Координаты вершин третьего квадрата: $A_3(-4; -2)$, $B_3(-4; 0)$, $C_3(-2; 0)$, $D_3(-2; -2)$.