Номер 7.24, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7.24 Постройте геометрическую фигуру по координатам её вершин:

a) $A(-4; 3)$, $B(2; -1)$, $C(-1; -1)$;

б) $K(-2; 3)$, $L(3; 3)$, $M(3; -2)$, $N(-2; -2)$

в) $K(3; -4)$, $B(-2; 0)$, $C(0; 5)$;

г) $F(0; 4)$, $E(5; 0)$, $G(0; -4)$, $H(-5; 0)$.

а) Для построения фигуры необходимо отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами: $A(-4; 3)$, $B(2; -1)$ и $C(-1; -1)$. Последовательно соединив эти точки отрезками $AB$, $BC$ и $CA$, мы получим треугольник $ABC$.
Чтобы определить вид этого треугольника, найдем длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
1. Длина стороны $AB$:
$AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{6^2 + 16} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$.
2. Длина стороны $BC$:
Точки $B(2; -1)$ и $C(-1; -1)$ имеют одинаковую ординату $y = -1$. Это означает, что сторона $BC$ параллельна оси абсцисс, и ее длина равна модулю разности их абсцисс:
$BC = |2 - (-1)| = |3| = 3$.
3. Длина стороны $AC$:
$AC = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{3^2 + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Мы видим, что все стороны треугольника имеют разную длину: $AB = \sqrt{52}$, $BC = 3$, $AC = 5$. Следовательно, треугольник $ABC$ является разносторонним.
Ответ: Полученная фигура – разносторонний треугольник.

б) Отметим на координатной плоскости точки $K(-2; 3)$, $L(3; 3)$, $M(3; -2)$ и $N(-2; -2)$. Соединив их последовательно отрезками $KL$, $LM$, $MN$ и $NK$, мы получим четырехугольник $KLMN$.
Проанализируем его стороны:
1. Сторона $KL$ соединяет точки $K(-2; 3)$ и $L(3; 3)$. Ординаты точек равны, значит, сторона $KL$ параллельна оси Ox. Ее длина: $KL = |3 - (-2)| = 5$.
2. Сторона $LM$ соединяет точки $L(3; 3)$ и $M(3; -2)$. Абсциссы точек равны, значит, сторона $LM$ параллельна оси Oy. Ее длина: $LM = |3 - (-2)| = 5$.
3. Сторона $MN$ соединяет точки $M(3; -2)$ и $N(-2; -2)$. Ординаты точек равны, значит, сторона $MN$ параллельна оси Ox. Ее длина: $MN = |3 - (-2)| = 5$.
4. Сторона $NK$ соединяет точки $N(-2; -2)$ и $K(-2; 3)$. Абсциссы точек равны, значит, сторона $NK$ параллельна оси Oy. Ее длина: $NK = |3 - (-2)| = 5$.
Все стороны четырехугольника равны 5. Поскольку стороны, параллельные оси Ox, перпендикулярны сторонам, параллельным оси Oy, все углы этого четырехугольника прямые ($90^\circ$). Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.
Ответ: Полученная фигура – квадрат со стороной 5.

в) Отметим на координатной плоскости точки $K(3; -4)$, $B(-2; 0)$ и $C(0; 5)$. Соединив их отрезками $KB$, $BC$ и $CK$, мы получим треугольник $KBC$.
Найдем длины его сторон:
1. Длина стороны $KB$:
$KB = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
2. Длина стороны $BC$:
$BC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.
3. Длина стороны $CK$:
$CK = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$.
Так как $KB \neq BC \neq CK$, все стороны треугольника имеют разную длину. Следовательно, треугольник является разносторонним.
Ответ: Полученная фигура – разносторонний треугольник.

г) Отметим на координатной плоскости точки $F(0; 4)$, $E(5; 0)$, $G(0; -4)$ и $H(-5; 0)$. Соединив их последовательно отрезками $FE$, $EG$, $GH$ и $HF$, мы получим четырехугольник $FEGH$.
Найдем длины его сторон:
1. $FE = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
2. $EG = \sqrt{(0 - 5)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
3. $GH = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
4. $HF = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
Все стороны четырехугольника равны $\sqrt{41}$. Четырехугольник с равными сторонами является ромбом.
Чтобы проверить, является ли он квадратом, найдем длины его диагоналей.
Диагональ $FG$ соединяет точки $F(0; 4)$ и $G(0; -4)$. Ее длина: $FG = |4 - (-4)| = 8$.
Диагональ $EH$ соединяет точки $E(5; 0)$ и $H(-5; 0)$. Ее длина: $EH = |5 - (-5)| = 10$.
Поскольку диагонали не равны ($FG \neq EH$), этот ромб не является квадратом.
Ответ: Полученная фигура – ромб.