Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.24 Постройте геометрическую фигуру по координатам её вершин:

a) $A(-4; 3)$, $B(2; -1)$, $C(-1; -1)$;

б) $K(-2; 3)$, $L(3; 3)$, $M(3; -2)$, $N(-2; -2)$

в) $K(3; -4)$, $B(-2; 0)$, $C(0; 5)$;

г) $F(0; 4)$, $E(5; 0)$, $G(0; -4)$, $H(-5; 0)$.

а) Для построения фигуры необходимо отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами: $A(-4; 3)$, $B(2; -1)$ и $C(-1; -1)$. Последовательно соединив эти точки отрезками $AB$, $BC$ и $CA$, мы получим треугольник $ABC$.
Чтобы определить вид этого треугольника, найдем длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
1. Длина стороны $AB$:
$AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{6^2 + 16} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$.
2. Длина стороны $BC$:
Точки $B(2; -1)$ и $C(-1; -1)$ имеют одинаковую ординату $y = -1$. Это означает, что сторона $BC$ параллельна оси абсцисс, и ее длина равна модулю разности их абсцисс:
$BC = |2 - (-1)| = |3| = 3$.
3. Длина стороны $AC$:
$AC = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{3^2 + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Мы видим, что все стороны треугольника имеют разную длину: $AB = \sqrt{52}$, $BC = 3$, $AC = 5$. Следовательно, треугольник $ABC$ является разносторонним.
Ответ: Полученная фигура – разносторонний треугольник.

б) Отметим на координатной плоскости точки $K(-2; 3)$, $L(3; 3)$, $M(3; -2)$ и $N(-2; -2)$. Соединив их последовательно отрезками $KL$, $LM$, $MN$ и $NK$, мы получим четырехугольник $KLMN$.
Проанализируем его стороны:
1. Сторона $KL$ соединяет точки $K(-2; 3)$ и $L(3; 3)$. Ординаты точек равны, значит, сторона $KL$ параллельна оси Ox. Ее длина: $KL = |3 - (-2)| = 5$.
2. Сторона $LM$ соединяет точки $L(3; 3)$ и $M(3; -2)$. Абсциссы точек равны, значит, сторона $LM$ параллельна оси Oy. Ее длина: $LM = |3 - (-2)| = 5$.
3. Сторона $MN$ соединяет точки $M(3; -2)$ и $N(-2; -2)$. Ординаты точек равны, значит, сторона $MN$ параллельна оси Ox. Ее длина: $MN = |3 - (-2)| = 5$.
4. Сторона $NK$ соединяет точки $N(-2; -2)$ и $K(-2; 3)$. Абсциссы точек равны, значит, сторона $NK$ параллельна оси Oy. Ее длина: $NK = |3 - (-2)| = 5$.
Все стороны четырехугольника равны 5. Поскольку стороны, параллельные оси Ox, перпендикулярны сторонам, параллельным оси Oy, все углы этого четырехугольника прямые ($90^\circ$). Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.
Ответ: Полученная фигура – квадрат со стороной 5.

в) Отметим на координатной плоскости точки $K(3; -4)$, $B(-2; 0)$ и $C(0; 5)$. Соединив их отрезками $KB$, $BC$ и $CK$, мы получим треугольник $KBC$.
Найдем длины его сторон:
1. Длина стороны $KB$:
$KB = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
2. Длина стороны $BC$:
$BC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.
3. Длина стороны $CK$:
$CK = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$.
Так как $KB \neq BC \neq CK$, все стороны треугольника имеют разную длину. Следовательно, треугольник является разносторонним.
Ответ: Полученная фигура – разносторонний треугольник.

г) Отметим на координатной плоскости точки $F(0; 4)$, $E(5; 0)$, $G(0; -4)$ и $H(-5; 0)$. Соединив их последовательно отрезками $FE$, $EG$, $GH$ и $HF$, мы получим четырехугольник $FEGH$.
Найдем длины его сторон:
1. $FE = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
2. $EG = \sqrt{(0 - 5)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
3. $GH = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
4. $HF = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
Все стороны четырехугольника равны $\sqrt{41}$. Четырехугольник с равными сторонами является ромбом.
Чтобы проверить, является ли он квадратом, найдем длины его диагоналей.
Диагональ $FG$ соединяет точки $F(0; 4)$ и $G(0; -4)$. Ее длина: $FG = |4 - (-4)| = 8$.
Диагональ $EH$ соединяет точки $E(5; 0)$ и $H(-5; 0)$. Ее длина: $EH = |5 - (-5)| = 10$.
Поскольку диагонали не равны ($FG \neq EH$), этот ромб не является квадратом.
Ответ: Полученная фигура – ромб.

7.25 Постройте отрезок, симметричный отрезку $BK$ относительно оси $x$, если:

а) $B(-6; 2)$, $K(-1; 1);$

б) $B(5; 1)$, $K(2; -3);$

в) $B(-4; 0)$, $K(1; -4);$

г) $B(0; 6)$, $K(6; -2).$

Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $BK$ относительно оси $x$, необходимо найти координаты точек $B'$ и $K'$, которые симметричны концам исходного отрезка $B$ и $K$. Отрезок, соединяющий точки $B'$ и $K'$, и будет искомым.

При симметрии относительно оси $x$ (оси абсцисс) любая точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x; -y)$. Это означает, что абсцисса ($x$) точки остается неизменной, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный.

а) Исходные точки: $B(-6; 2)$ и $K(-1; 1)$.

Найдем координаты точки $B'$, симметричной точке $B(-6; 2)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $-6$, а ордината $2$ меняет знак на $-2$. Получаем точку $B'(-6; -2)$.

Найдем координаты точки $K'$, симметричной точке $K(-1; 1)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $-1$, а ордината $1$ меняет знак на $-1$. Получаем точку $K'(-1; -1)$.

Искомый отрезок — это отрезок $B'K'$ с концами в точках $B'(-6; -2)$ и $K'(-1; -1)$.

Ответ: Отрезок с концами в точках $(-6; -2)$ и $(-1; -1)$.

б) Исходные точки: $B(5; 1)$ и $K(2; -3)$.

Найдем координаты точки $B'$, симметричной точке $B(5; 1)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $5$, а ордината $1$ меняет знак на $-1$. Получаем точку $B'(5; -1)$.

Найдем координаты точки $K'$, симметричной точке $K(2; -3)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $2$, а ордината $-3$ меняет знак на $3$. Получаем точку $K'(2; 3)$.

Искомый отрезок — это отрезок $B'K'$ с концами в точках $B'(5; -1)$ и $K'(2; 3)$.

Ответ: Отрезок с концами в точках $(5; -1)$ и $(2; 3)$.

в) Исходные точки: $B(-4; 0)$ и $K(1; -4)$.

Найдем координаты точки $B'$, симметричной точке $B(-4; 0)$ относительно оси $x$. Поскольку точка $B$ лежит на оси симметрии (ее ордината равна $0$), она отображается сама на себя. Координаты точки $B'$ совпадают с координатами точки $B$: $B'(-4; 0)$.

Найдем координаты точки $K'$, симметричной точке $K(1; -4)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $1$, а ордината $-4$ меняет знак на $4$. Получаем точку $K'(1; 4)$.

Искомый отрезок — это отрезок $B'K'$ с концами в точках $B'(-4; 0)$ и $K'(1; 4)$.

Ответ: Отрезок с концами в точках $(-4; 0)$ и $(1; 4)$.

г) Исходные точки: $B(0; 6)$ и $K(6; -2)$.

Найдем координаты точки $B'$, симметричной точке $B(0; 6)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $0$, а ордината $6$ меняет знак на $-6$. Получаем точку $B'(0; -6)$.

Найдем координаты точки $K'$, симметричной точке $K(6; -2)$ относительно оси $x$. Абсцисса остается $6$, а ордината $-2$ меняет знак на $2$. Получаем точку $K'(6; 2)$.

Искомый отрезок — это отрезок $B'K'$ с концами в точках $B'(0; -6)$ и $K'(6; 2)$.

Ответ: Отрезок с концами в точках $(0; -6)$ и $(6; 2)$.

7.26 Постройте отрезок, симметричный отрезку $DM$ относительно оси $y$, если:

а) $D(4; 2), M(1; 6);$

б) $D(-3; 0), M(0; -3);$

в) $D(-5; -3), M(1; -2);$

г) $D(-4; 4), M(2; -2).$

Для построения отрезка, симметричного данному отрезку относительно оси $y$ (оси ординат), необходимо найти координаты точек, симметричных концам исходного отрезка, и соединить их. Точка $P'(x', y')$, симметричная точке $P(x, y)$ относительно оси $y$, имеет координаты, которые определяются по правилу: $x' = -x$, $y' = y$. Это означает, что абсцисса (координата $x$) точки меняет свой знак на противоположный, а ордината (координата $y$) остается без изменений.

а) Даны концы отрезка $D(4; 2)$ и $M(1; 6)$.

Найдем координаты точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно оси $y$.У точки $D(4; 2)$ абсцисса $x = 4$, ордината $y = 2$.Для симметричной точки $D'$ абсцисса будет $-x = -4$, а ордината останется прежней, $y = 2$.Таким образом, координаты точки $D'$ равны $(-4; 2)$.

Найдем координаты точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно оси $y$.У точки $M(1; 6)$ абсцисса $x = 1$, ордината $y = 6$.Для симметричной точки $M'$ абсцисса будет $-x = -1$, а ордината останется прежней, $y = 6$.Таким образом, координаты точки $M'$ равны $(-1; 6)$.

Искомый отрезок, симметричный отрезку $DM$, это отрезок $D'M'$ с концами в точках $D'(-4; 2)$ и $M'(-1; 6)$.

Ответ: концами искомого отрезка являются точки $D'(-4; 2)$ и $M'(-1; 6)$.

б) Даны концы отрезка $D(-3; 0)$ и $M(0; -3)$.

Найдем координаты точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно оси $y$.У точки $D(-3; 0)$ абсцисса $x = -3$, ордината $y = 0$.Для симметричной точки $D'$ абсцисса будет $-x = -(-3) = 3$, а ордината останется прежней, $y = 0$.Таким образом, координаты точки $D'$ равны $(3; 0)$.

Найдем координаты точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно оси $y$.У точки $M(0; -3)$ абсцисса $x = 0$. Это означает, что точка $M$ лежит на оси $y$. Любая точка, лежащая на оси симметрии, симметрична самой себе.Следовательно, точка $M'$ совпадает с точкой $M$, и ее координаты равны $(0; -3)$.

Искомый отрезок, симметричный отрезку $DM$, это отрезок $D'M'$ с концами в точках $D'(3; 0)$ и $M'(0; -3)$.

Ответ: концами искомого отрезка являются точки $D'(3; 0)$ и $M'(0; -3)$.

в) Даны концы отрезка $D(-5; -3)$ и $M(1; -2)$.

Найдем координаты точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно оси $y$.У точки $D(-5; -3)$ абсцисса $x = -5$, ордината $y = -3$.Для симметричной точки $D'$ абсцисса будет $-x = -(-5) = 5$, а ордината останется прежней, $y = -3$.Таким образом, координаты точки $D'$ равны $(5; -3)$.

Найдем координаты точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно оси $y$.У точки $M(1; -2)$ абсцисса $x = 1$, ордината $y = -2$.Для симметричной точки $M'$ абсцисса будет $-x = -1$, а ордината останется прежней, $y = -2$.Таким образом, координаты точки $M'$ равны $(-1; -2)$.

Искомый отрезок, симметричный отрезку $DM$, это отрезок $D'M'$ с концами в точках $D'(5; -3)$ и $M'(-1; -2)$.

Ответ: концами искомого отрезка являются точки $D'(5; -3)$ и $M'(-1; -2)$.

г) Даны концы отрезка $D(-4; 4)$ и $M(2; -2)$.

Найдем координаты точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно оси $y$.У точки $D(-4; 4)$ абсцисса $x = -4$, ордината $y = 4$.Для симметричной точки $D'$ абсцисса будет $-x = -(-4) = 4$, а ордината останется прежней, $y = 4$.Таким образом, координаты точки $D'$ равны $(4; 4)$.

Найдем координаты точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно оси $y$.У точки $M(2; -2)$ абсцисса $x = 2$, ордината $y = -2$.Для симметричной точки $M'$ абсцисса будет $-x = -2$, а ордината останется прежней, $y = -2$.Таким образом, координаты точки $M'$ равны $(-2; -2)$.

Искомый отрезок, симметричный отрезку $DM$, это отрезок $D'M'$ с концами в точках $D'(4; 4)$ и $M'(-2; -2)$.

Ответ: концами искомого отрезка являются точки $D'(4; 4)$ и $M'(-2; -2)$.

7.27 Постройте отрезок, симметричный отрезку CH относительно начала координат, если:

а) $C(-7; -2)$, $H(-2; -7);$

б) $C(5; 0)$, $H(2; -4);$

в) $C(2; 3)$, $H(-3; -2);$

г) $C(0; -3)$, $H(-3; 1).$

Для построения отрезка, симметричного отрезку $CH$ относительно начала координат (точки $O(0; 0)$), необходимо найти координаты точек $C'$ и $H'$, которые симметричны точкам $C$ и $H$ соответственно. Точка $A'(x'; y')$ является симметричной точке $A(x; y)$ относительно начала координат, если ее координаты вычисляются по формулам: $x' = -x$ и $y' = -y$. Иными словами, для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знаки ее исходных координат на противоположные. Отрезок $C'H'$ будет искомым симметричным отрезком.

а) Даны точки с координатами $C(-7; -2)$ и $H(-2; -7)$.

Найдем координаты точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно начала координат:
$x_{C'} = -x_C = -(-7) = 7$
$y_{C'} = -y_C = -(-2) = 2$
Таким образом, координаты точки $C'$ равны $(7; 2)$.

Найдем координаты точки $H'$, симметричной точке $H$ относительно начала координат:
$x_{H'} = -x_H = -(-2) = 2$
$y_{H'} = -y_H = -(-7) = 7$
Таким образом, координаты точки $H'$ равны $(2; 7)$.

Искомый отрезок — это отрезок $C'H'$.
Ответ: Координаты концов симметричного отрезка: $C'(7; 2)$ и $H'(2; 7)$.

б) Даны точки с координатами $C(5; 0)$ и $H(2; -4)$.

Найдем координаты точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно начала координат:
$x_{C'} = -x_C = -(5) = -5$
$y_{C'} = -y_C = -(0) = 0$
Таким образом, координаты точки $C'$ равны $(-5; 0)$.

Найдем координаты точки $H'$, симметричной точке $H$ относительно начала координат:
$x_{H'} = -x_H = -(2) = -2$
$y_{H'} = -y_H = -(-4) = 4$
Таким образом, координаты точки $H'$ равны $(-2; 4)$.

Искомый отрезок — это отрезок $C'H'$.
Ответ: Координаты концов симметричного отрезка: $C'(-5; 0)$ и $H'(-2; 4)$.

в) Даны точки с координатами $C(2; 3)$ и $H(-3; -2)$.

Найдем координаты точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно начала координат:
$x_{C'} = -x_C = -(2) = -2$
$y_{C'} = -y_C = -(3) = -3$
Таким образом, координаты точки $C'$ равны $(-2; -3)$.

Найдем координаты точки $H'$, симметричной точке $H$ относительно начала координат:
$x_{H'} = -x_H = -(-3) = 3$
$y_{H'} = -y_H = -(-2) = 2$
Таким образом, координаты точки $H'$ равны $(3; 2)$.

Искомый отрезок — это отрезок $C'H'$.
Ответ: Координаты концов симметричного отрезка: $C'(-2; -3)$ и $H'(3; 2)$.

г) Даны точки с координатами $C(0; -3)$ и $H(-3; 1)$.

Найдем координаты точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно начала координат:
$x_{C'} = -x_C = -(0) = 0$
$y_{C'} = -y_C = -(-3) = 3$
Таким образом, координаты точки $C'$ равны $(0; 3)$.

Найдем координаты точки $H'$, симметричной точке $H$ относительно начала координат:
$x_{H'} = -x_H = -(-3) = 3$
$y_{H'} = -y_H = -(1) = -1$
Таким образом, координаты точки $H'$ равны $(3; -1)$.

Искомый отрезок — это отрезок $C'H'$.
Ответ: Координаты концов симметричного отрезка: $C'(0; 3)$ и $H'(3; -1)$.

7.28 Воспользовавшись рис. 6, найдите:

а) координаты вершин изображённого четырёхугольника;

б) координаты точек, в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат;

в) координаты вершин четырёхугольника, расположенного выше нарисованного на 4 единицы;

г) координаты вершин четырёхугольника, расположенного левее нарисованного на 3 единицы.

Рис. 6

а) координаты вершин изображённого четырёхугольника;

Для определения координат вершин четырёхугольника, найдём их положение на координатной плоскости, где единичный отрезок равен одной клетке.

• Верхняя левая вершина находится в точке, смещённой на 2 единицы влево от оси $y$ (абсцисса $x=-2$) и на 4 единицы вверх от оси $x$ (ордината $y=4$). Её координаты: $(-2, 4)$.
• Верхняя правая вершина находится в точке, смещённой на 2 единицы вправо от оси $y$ (абсцисса $x=2$) и на 4 единицы вверх от оси $x$ (ордината $y=4$). Её координаты: $(2, 4)$.
• Нижняя правая вершина находится в точке, смещённой на 4 единицы вправо от оси $y$ (абсцисса $x=4$) и на 3 единицы вниз от оси $x$ (ордината $y=-3$). Её координаты: $(4, -3)$.
• Нижняя левая вершина находится в точке, смещённой на 4 единицы влево от оси $y$ (абсцисса $x=-4$) и на 3 единицы вниз от оси $x$ (ордината $y=-3$). Её координаты: $(-4, -3)$.

Ответ: $(-2, 4)$, $(2, 4)$, $(4, -3)$, $(-4, -3)$.

б) координаты точек, в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат;

Найдём точки пересечения сторон четырёхугольника с осями $x$ и $y$.

Пересечение с осью ординат (осью $y$):
Координата $x$ в точках на оси $y$ равна 0.

• Верхняя сторона соединяет точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Это горизонтальный отрезок, который пересекает ось $y$ в точке, где $x=0$. Координаты точки пересечения: $(0, 4)$.
• Нижняя сторона соединяет точки $(-4, -3)$ и $(4, -3)$. Этот горизонтальный отрезок пересекает ось $y$ в точке, где $x=0$. Координаты точки пересечения: $(0, -3)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью $x$):
Координата $y$ в точках на оси $x$ равна 0.

• Левая боковая сторона соединяет точки $(-4, -3)$ и $(-2, 4)$. Найдём уравнение прямой, проходящей через эти точки, по формуле $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$:
  $\frac{x - (-4)}{-2 - (-4)} = \frac{y - (-3)}{4 - (-3)} \implies \frac{x + 4}{2} = \frac{y + 3}{7}$.
  Подставим $y=0$, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
  $\frac{x + 4}{2} = \frac{0 + 3}{7} \implies 7(x + 4) = 6 \implies 7x + 28 = 6 \implies 7x = -22 \implies x = -\frac{22}{7}$.
  Координаты точки пересечения: $(-\frac{22}{7}, 0)$.
• Правая боковая сторона соединяет точки $(2, 4)$ и $(4, -3)$. Найдём уравнение прямой:
  $\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 4}{-3 - 4} \implies \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{-7}$.
  Подставим $y=0$:
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{0 - 4}{-7} \implies \frac{x - 2}{2} = \frac{4}{7} \implies 7(x - 2) = 8 \implies 7x - 14 = 8 \implies 7x = 22 \implies x = \frac{22}{7}$.
  Координаты точки пересечения: $(\frac{22}{7}, 0)$.

Ответ: $(0, 4)$, $(0, -3)$, $(-\frac{22}{7}, 0)$, $(\frac{22}{7}, 0)$.

в) координаты вершин четырёхугольника, расположенного выше нарисованного на 4 единицы;

Смещение фигуры вверх на 4 единицы означает параллельный перенос вдоль оси $y$. Для этого нужно к ординате ($y$) каждой вершины прибавить 4, а абсциссу ($x$) оставить без изменений.

• $(-2, 4) \rightarrow (-2, 4+4) = (-2, 8)$
• $(2, 4) \rightarrow (2, 4+4) = (2, 8)$
• $(4, -3) \rightarrow (4, -3+4) = (4, 1)$
• $(-4, -3) \rightarrow (-4, -3+4) = (-4, 1)$

Ответ: $(-2, 8)$, $(2, 8)$, $(4, 1)$, $(-4, 1)$.

г) координаты вершин четырёхугольника, расположенного левее нарисованного на 3 единицы.

Смещение фигуры влево на 3 единицы означает параллельный перенос вдоль оси $x$. Для этого нужно из абсциссы ($x$) каждой вершины вычесть 3, а ординату ($y$) оставить без изменений.

• $(-2, 4) \rightarrow (-2-3, 4) = (-5, 4)$
• $(2, 4) \rightarrow (2-3, 4) = (-1, 4)$
• $(4, -3) \rightarrow (4-3, -3) = (1, -3)$
• $(-4, -3) \rightarrow (-4-3, -3) = (-7, -3)$

Ответ: $(-5, 4)$, $(-1, 4)$, $(1, -3)$, $(-7, -3)$.