Страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

8.31 Сумма двух чисел равна 7. Если одно число увеличить в 2 раза, а другое оставить без изменения, то в сумме эти числа дадут 8. Найдите исходные числа.

Обозначим два искомых числа переменными $x$ и $y$.

Из условия задачи известно, что сумма этих чисел равна 7. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 7$

Также в условии говорится, что если одно число увеличить в 2 раза, а другое оставить без изменения, то их сумма будет равна 8. Предположим, что мы увеличиваем число $x$. Тогда получаем второе уравнение:

$2x + y = 8$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$

Эту систему удобно решить методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $y$:

$(2x + y) - (x + y) = 8 - 7$

Раскроем скобки:

$2x + y - x - y = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 1$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в первое уравнение ($x + y = 7$), чтобы найти значение $y$:

$1 + y = 7$

$y = 7 - 1$

$y = 6$

Итак, мы нашли исходные числа: 1 и 6.

Выполним проверку:

1. Сумма исходных чисел: $1 + 6 = 7$. Условие выполняется.

2. Увеличим одно из чисел (например, 1) в 2 раза и прибавим второе число: $2 \cdot 1 + 6 = 2 + 6 = 8$. Это условие также выполняется.

Ответ: Исходные числа — 1 и 6.

8.32 Разность двух чисел равна 1. Если первое число оставить без изменения, а второе увеличить в 3 раза, то в сумме эти числа дадут 9. Найдите исходные числа.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть первое искомое число — это $x$, а второе — $y$.

Из первого условия задачи известно, что разность двух чисел равна 1. Это можно записать в виде уравнения:

$x - y = 1$

Из второго условия известно, что если первое число ($x$) оставить без изменения, а второе ($y$) увеличить в 3 раза (то есть оно станет $3y$), то их сумма будет равна 9. Это дает нам второе уравнение:

$x + 3y = 9$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 3y = 9 \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала выразим $x$ из первого уравнения:

$x = y + 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 1) + 3y = 9$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$4y + 1 = 9$

$4y = 9 - 1$

$4y = 8$

$y = \frac{8}{4}$

$y = 2$

Мы нашли второе число, оно равно 2. Теперь найдем первое число, подставив значение $y$ в выражение $x = y + 1$:

$x = 2 + 1$

$x = 3$

Итак, первое число равно 3, а второе — 2.

Выполним проверку:

1. Разность чисел: $3 - 2 = 1$. (Верно)

2. Сумма первого числа и утроенного второго: $3 + 3 \cdot 2 = 3 + 6 = 9$. (Верно)

Ответ: Исходные числа — 3 и 2.

8.33 Разность двух чисел равна 3. Найдите эти числа, если известно, что уменьшаемое больше вычитаемого в 4 раза.

Пусть уменьшаемое равно $a$, а вычитаемое равно $b$.

Согласно условию задачи, разность этих чисел равна 3. Запишем это в виде уравнения:

$a - b = 3$

Также известно, что уменьшаемое больше вычитаемого в 4 раза. Это можно выразить следующим уравнением:

$a = 4b$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a - b = 3 \\ a = 4b \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:

$(4b) - b = 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3b = 3$

Теперь найдем значение $b$:

$b = \frac{3}{3}$

$b = 1$

Мы нашли вычитаемое. Теперь найдем уменьшаемое, подставив значение $b$ во второе уравнение $a = 4b$:

$a = 4 \times 1$

$a = 4$

Таким образом, уменьшаемое равно 4, а вычитаемое равно 1.

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа условиям задачи:

1. Разность равна 3: $4 - 1 = 3$. (Верно)

2. Уменьшаемое больше вычитаемого в 4 раза: $4 = 4 \times 1$. (Верно)

Ответ: 4 и 1.

8.34 В шахматном турнире участвовало 10 учеников. Мальчиков было в 1,5 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в турнире?

Для решения этой задачи воспользуемся методом составления уравнения.

Пусть $x$ — количество девочек, участвовавших в турнире.

Из условия известно, что мальчиков было в 1,5 раза больше, чем девочек. Значит, количество мальчиков можно выразить как $1.5 \cdot x$.

Всего в турнире участвовало 10 учеников. Это сумма количества девочек и мальчиков. Составим уравнение:

$x + 1.5x = 10$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим члены с переменной $x$:

$2.5x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2,5:

$x = \frac{10}{2.5}$

$x = 4$

Следовательно, в турнире участвовало 4 девочки.

Теперь найдем количество мальчиков, умножив количество девочек на 1,5:

$1.5 \cdot 4 = 6$

Таким образом, в турнире участвовало 6 мальчиков.

Проверка: $4$ (девочки) $+ 6$ (мальчиков) $= 10$ (всего учеников). Условие выполнено.

Ответ: в турнире участвовало 6 мальчиков и 4 девочки.

8.35 На дополнительные занятия по математике девочек пришло в 3 раза больше, чем мальчиков. Сколько всего учеников пришло на дополнительные занятия, если мальчиков оказалось на 6 человек меньше, чем девочек?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество мальчиков, а $y$ — количество девочек.

Из условия задачи известно, что девочек пришло в 3 раза больше, чем мальчиков. Это можно записать в виде уравнения:

$y = 3x$

Также в условии сказано, что мальчиков оказалось на 6 человек меньше, чем девочек. Это означает, что разница между количеством девочек и мальчиков равна 6. Запишем второе уравнение:

$y - x = 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем подставить выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$3x - x = 6$

Упростим полученное уравнение:

$2x = 6$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 6 / 2$

$x = 3$

Таким образом, на занятия пришло 3 мальчика.

Теперь найдем количество девочек, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 3x = 3 \times 3 = 9$

На занятия пришло 9 девочек.

Чтобы найти, сколько всего учеников пришло на занятия, сложим количество мальчиков и девочек:

Всего учеников = $x + y = 3 + 9 = 12$

Ответ: 12 учеников.

Постройте на координатной плоскости прямую, заданную уравнением $ax + by + c = 0$, при следующих значениях коэффициентов $a, b$ и $c$:

8.36 а) $a = 2, b = 1, c = -3$;

б) $a = -1, b = 3, c = 0$;

в) $a = 1, b = -2, c = 4$;

г) $a = 3, b = -1, c = 0$.

а) Для $a = 2, b = 1, c = -3$

Подставляем данные значения коэффициентов в общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$:
$2x + 1 \cdot y + (-3) = 0$
$2x + y - 3 = 0$

Чтобы построить прямую, необходимо найти координаты как минимум двух точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего найти точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), для этого положим $x = 0$:
$2 \cdot 0 + y - 3 = 0$
$y = 3$
Получаем первую точку с координатами $(0; 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), для этого положим $y = 0$:
$2x + 0 - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = 1,5$
Получаем вторую точку с координатами $(1,5; 0)$.

Проведя прямую через точки $(0; 3)$ и $(1,5; 0)$, мы получим искомый график. Уравнение этой прямой можно также записать в виде $y = -2x + 3$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $2x + y - 3 = 0$, строится по двум точкам, например, $(0; 3)$ и $(1,5; 0)$.

б) Для $a = -1, b = 3, c = 0$

Подставляем значения в уравнение $ax + by + c = 0$:
$-1 \cdot x + 3y + 0 = 0$
$-x + 3y = 0$

Найдем две точки для построения графика.

1. Так как свободный член $c = 0$, прямая проходит через начало координат. Подставим $x = 0$:
$-0 + 3y = 0 \implies y = 0$.
Первая точка — $(0; 0)$.

2. Для нахождения второй точки выберем любое ненулевое значение $x$, например, $x = 3$:
$-3 + 3y = 0$
$3y = 3$
$y = 1$
Вторая точка имеет координаты $(3; 1)$.

Проводим прямую через точки $(0; 0)$ и $(3; 1)$. Уравнение можно представить в виде $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $-x + 3y = 0$, строится по двум точкам, например, $(0; 0)$ и $(3; 1)$.

в) Для $a = 1, b = -2, c = 4$

Подставляем значения в уравнение $ax + by + c = 0$:
$1 \cdot x + (-2)y + 4 = 0$
$x - 2y + 4 = 0$

Найдем точки пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$:
$0 - 2y + 4 = 0$
$-2y = -4$
$y = 2$
Первая точка — $(0; 2)$ (пересечение с осью OY).

2. При $y = 0$:
$x - 2 \cdot 0 + 4 = 0$
$x = -4$
Вторая точка — $(-4; 0)$ (пересечение с осью OX).

График строится как прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(-4; 0)$. Уравнение можно переписать как $y = \frac{1}{2}x + 2$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $x - 2y + 4 = 0$, строится по двум точкам, например, $(0; 2)$ и $(-4; 0)$.

г) Для $a = 3, b = -1, c = 0$

Подставляем значения в уравнение $ax + by + c = 0$:
$3x + (-1)y + 0 = 0$
$3x - y = 0$

Найдем две точки для построения графика.

1. Так как $c = 0$, прямая проходит через начало координат. При $x = 0$:
$3 \cdot 0 - y = 0 \implies y = 0$.
Первая точка — $(0; 0)$.

2. Для нахождения второй точки выберем любое ненулевое значение $x$, например, $x = 1$:
$3 \cdot 1 - y = 0$
$y = 3$
Вторая точка имеет координаты $(1; 3)$.

Прямая проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 3)$. Уравнение можно представить в виде $y = 3x$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $3x - y = 0$, строится по двум точкам, например, $(0; 0)$ и $(1; 3)$.

Постройте на координатной плоскости прямую, заданную уравнением $ax + by + c = 0$, при следующих значениях коэффициентов $a, b$ и $c$:

8.37 a) $a = 0, b = 2, c = -6;$

б) $a = -1, b = 0, c = -2;$

в) $a = 0, b = -2, c = -4;$

г) $a = 5, b = 0, c = -5.$

Общее уравнение прямой имеет вид $ax + by + c = 0$. Мы подставим данные значения коэффициентов $a, b, c$ для каждого случая, упростим уравнение и опишем, как построить соответствующую прямую на координатной плоскости.

а) Даны коэффициенты $a = 0, b = 2, c = -6$.

Подставляем эти значения в общее уравнение прямой:

$0 \cdot x + 2 \cdot y + (-6) = 0$

Упрощаем полученное уравнение:

$2y - 6 = 0$

$2y = 6$

$y = 3$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (оси Ox). Все точки этой прямой имеют ординату (координату y), равную 3. Для построения этой прямой нужно на оси ординат (оси Oy) отметить точку с координатой 3 и провести через нее прямую, параллельную оси Ox.

Ответ: Прямая задается уравнением $y = 3$.

б) Даны коэффициенты $a = -1, b = 0, c = -2$.

Подставляем эти значения в общее уравнение прямой:

$(-1) \cdot x + 0 \cdot y + (-2) = 0$

Упрощаем полученное уравнение:

$-x - 2 = 0$

$-x = 2$

$x = -2$

Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат (оси Oy). Все точки этой прямой имеют абсциссу (координату x), равную -2. Для построения этой прямой нужно на оси абсцисс (оси Ox) отметить точку с координатой -2 и провести через нее прямую, параллельную оси Oy.

Ответ: Прямая задается уравнением $x = -2$.

в) Даны коэффициенты $a = 0, b = -2, c = -4$.

Подставляем эти значения в общее уравнение прямой:

$0 \cdot x + (-2) \cdot y + (-4) = 0$

Упрощаем полученное уравнение:

$-2y - 4 = 0$

$-2y = 4$

$y = -2$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (оси Ox). Все точки этой прямой имеют ординату (координату y), равную -2. Для построения этой прямой нужно на оси ординат (оси Oy) отметить точку с координатой -2 и провести через нее прямую, параллельную оси Ox.

Ответ: Прямая задается уравнением $y = -2$.

г) Даны коэффициенты $a = 5, b = 0, c = -5$.

Подставляем эти значения в общее уравнение прямой:

$5 \cdot x + 0 \cdot y + (-5) = 0$

Упрощаем полученное уравнение:

$5x - 5 = 0$

$5x = 5$

$x = 1$

Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат (оси Oy). Все точки этой прямой имеют абсциссу (координату x), равную 1. Для построения этой прямой нужно на оси абсцисс (оси Ox) отметить точку с координатой 1 и провести через нее прямую, параллельную оси Oy.

Ответ: Прямая задается уравнением $x = 1$.

Постройте на координатной плоскости прямую, заданную уравне-нием $ax + by + c = 0$, при следующих значениях коэффициентов $a$, $b$ и $c$:

8.38 a) $a = c = 0, b = 0,2$;

б) $a = \frac{1}{3}, b = c = 0$.

а) Подставим заданные значения коэффициентов $a = 0$, $b = 0,2$ и $c = 0$ в общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$.

Получаем следующее уравнение:

$0 \cdot x + 0,2 \cdot y + 0 = 0$

Упростим это выражение:

$0,2y = 0$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $0,2$:

$y = \frac{0}{0,2}$

$y = 0$

Уравнение $y=0$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую. Все точки, принадлежащие этой прямой, имеют ординату (координату $y$), равную нулю. Эта прямая полностью совпадает с осью абсцисс (осью Ох). Примерами точек на этой прямой являются $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(5, 0)$. Для построения этой прямой нужно просто начертить ось Ох.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=0$, которая совпадает с осью абсцисс (осью Ох).

б) Подставим заданные значения коэффициентов $a = \frac{1}{3}$, $b = 0$ и $c = 0$ в общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$.

Получаем следующее уравнение:

$\frac{1}{3} \cdot x + 0 \cdot y + 0 = 0$

Упростим это выражение:

$\frac{1}{3}x = 0$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $3$:

$x = 0 \cdot 3$

$x = 0$

Уравнение $x=0$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую. Все точки, принадлежащие этой прямой, имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю. Эта прямая полностью совпадает с осью ординат (осью Оу). Примерами точек на этой прямой являются $(0, -4)$, $(0, 0)$, $(0, 3)$. Для построения этой прямой нужно просто начертить ось Оу.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $x=0$, которая совпадает с осью ординат (осью Оу).

8.39 При каких значениях коэффициентов a, b, c прямая $ax + by + c = 0$:

a) параллельна оси $x$;

б) параллельна оси $y$;

в) проходит через начало координат;

г) совпадает с осью $x$, осью $y$?

Рассмотрим общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$. Для того чтобы это уравнение действительно задавало прямую, необходимо, чтобы хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ был отличен от нуля, то есть $a^2 + b^2 \neq 0$.

а) параллельна оси x;

Прямая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$), если она горизонтальна. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = k$, где $k$ — некоторая константа. Уравнение самой оси $Ox$ — это $y=0$.

Чтобы из общего уравнения $ax + by + c = 0$ получить уравнение вида $y = k$, необходимо, чтобы переменная $x$ отсутствовала. Это возможно только если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a=0$.

При $a=0$ уравнение принимает вид $by + c = 0$. Так как прямая должна существовать, коэффициент $b$ не может быть равен нулю ($b \neq 0$), иначе мы получим $c=0$, что не является уравнением прямой. При $b \neq 0$ получаем $y = -\frac{c}{b}$.

Это уравнение задает прямую, параллельную оси $Ox$. Чтобы она не совпадала с самой осью $Ox$ (этот случай рассматривается отдельно в пункте г)), необходимо, чтобы свободный член $k = -\frac{c}{b}$ не был равен нулю. Это означает, что $c \neq 0$.

Ответ: $a=0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$.

б) параллельна оси y;

Прямая параллельна оси ординат (оси $Oy$), если она вертикальна. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = k$, где $k$ — некоторая константа. Уравнение самой оси $Oy$ — это $x=0$.

Чтобы из общего уравнения $ax + by + c = 0$ получить уравнение вида $x = k$, необходимо, чтобы переменная $y$ отсутствовала. Это возможно только если коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $b=0$.

При $b=0$ уравнение принимает вид $ax + c = 0$. Так как прямая должна существовать, коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$). При $a \neq 0$ получаем $x = -\frac{c}{a}$.

Это уравнение задает прямую, параллельную оси $Oy$. Чтобы она не совпадала с самой осью $Oy$, необходимо, чтобы $c \neq 0$.

Ответ: $a \neq 0$, $b=0$, $c \neq 0$.

в) проходит через начало координат;

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Если прямая проходит через эту точку, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой.

Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение $ax + by + c = 0$:

$a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0$

$0 + 0 + c = 0$

$c = 0$

При этом, как уже было сказано, для существования прямой необходимо, чтобы коэффициенты $a$ и $b$ не были равны нулю одновременно ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Ответ: $c=0$ при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

г) совпадает с осью x, осью y?

Этот пункт содержит два вопроса.

1. Совпадение с осью $x$.

Уравнение оси $x$ — это $y=0$. Чтобы уравнение $ax + by + c = 0$ было эквивалентно уравнению $y=0$, оно должно выполняться для любого значения $x$ при $y=0$. Подставим $y=0$ в общее уравнение: $ax + c = 0$. Это равенство должно быть верным для любого $x$. Такое возможно только если коэффициент при $x$ равен нулю и свободный член равен нулю, то есть $a=0$ и $c=0$.

При этих условиях исходное уравнение принимает вид $by = 0$. Чтобы из него следовало $y=0$, необходимо, чтобы $b \neq 0$.

Итак, для совпадения с осью $x$: $a=0, c=0, b \neq 0$.

2. Совпадение с осью $y$.

Уравнение оси $y$ — это $x=0$. Чтобы уравнение $ax + by + c = 0$ было эквивалентно уравнению $x=0$, оно должно выполняться для любого значения $y$ при $x=0$. Подставим $x=0$ в общее уравнение: $by + c = 0$. Это равенство должно быть верным для любого $y$. Такое возможно только если $b=0$ и $c=0$.

При этих условиях исходное уравнение принимает вид $ax = 0$. Чтобы из него следовало $x=0$, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

Итак, для совпадения с осью $y$: $b=0, c=0, a \neq 0$.

Ответ: Прямая совпадает с осью $x$ при $a=0, c=0, b \neq 0$. Прямая совпадает с осью $y$ при $b=0, c=0, a \neq 0$.