Номер 8.39, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8.39 При каких значениях коэффициентов a, b, c прямая $ax + by + c = 0$:

a) параллельна оси $x$;

б) параллельна оси $y$;

в) проходит через начало координат;

г) совпадает с осью $x$, осью $y$?

Рассмотрим общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$. Для того чтобы это уравнение действительно задавало прямую, необходимо, чтобы хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ был отличен от нуля, то есть $a^2 + b^2 \neq 0$.

а) параллельна оси x;

Прямая параллельна оси абсцисс (оси $Ox$), если она горизонтальна. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = k$, где $k$ — некоторая константа. Уравнение самой оси $Ox$ — это $y=0$.

Чтобы из общего уравнения $ax + by + c = 0$ получить уравнение вида $y = k$, необходимо, чтобы переменная $x$ отсутствовала. Это возможно только если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a=0$.

При $a=0$ уравнение принимает вид $by + c = 0$. Так как прямая должна существовать, коэффициент $b$ не может быть равен нулю ($b \neq 0$), иначе мы получим $c=0$, что не является уравнением прямой. При $b \neq 0$ получаем $y = -\frac{c}{b}$.

Это уравнение задает прямую, параллельную оси $Ox$. Чтобы она не совпадала с самой осью $Ox$ (этот случай рассматривается отдельно в пункте г)), необходимо, чтобы свободный член $k = -\frac{c}{b}$ не был равен нулю. Это означает, что $c \neq 0$.

Ответ: $a=0$, $b \neq 0$, $c \neq 0$.

б) параллельна оси y;

Прямая параллельна оси ординат (оси $Oy$), если она вертикальна. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = k$, где $k$ — некоторая константа. Уравнение самой оси $Oy$ — это $x=0$.

Чтобы из общего уравнения $ax + by + c = 0$ получить уравнение вида $x = k$, необходимо, чтобы переменная $y$ отсутствовала. Это возможно только если коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $b=0$.

При $b=0$ уравнение принимает вид $ax + c = 0$. Так как прямая должна существовать, коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$). При $a \neq 0$ получаем $x = -\frac{c}{a}$.

Это уравнение задает прямую, параллельную оси $Oy$. Чтобы она не совпадала с самой осью $Oy$, необходимо, чтобы $c \neq 0$.

Ответ: $a \neq 0$, $b=0$, $c \neq 0$.

в) проходит через начало координат;

Начало координат — это точка с координатами $(0, 0)$. Если прямая проходит через эту точку, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой.

Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение $ax + by + c = 0$:

$a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0$

$0 + 0 + c = 0$

$c = 0$

При этом, как уже было сказано, для существования прямой необходимо, чтобы коэффициенты $a$ и $b$ не были равны нулю одновременно ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Ответ: $c=0$ при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно.

г) совпадает с осью x, осью y?

Этот пункт содержит два вопроса.

1. Совпадение с осью $x$.

Уравнение оси $x$ — это $y=0$. Чтобы уравнение $ax + by + c = 0$ было эквивалентно уравнению $y=0$, оно должно выполняться для любого значения $x$ при $y=0$. Подставим $y=0$ в общее уравнение: $ax + c = 0$. Это равенство должно быть верным для любого $x$. Такое возможно только если коэффициент при $x$ равен нулю и свободный член равен нулю, то есть $a=0$ и $c=0$.

При этих условиях исходное уравнение принимает вид $by = 0$. Чтобы из него следовало $y=0$, необходимо, чтобы $b \neq 0$.

Итак, для совпадения с осью $x$: $a=0, c=0, b \neq 0$.

2. Совпадение с осью $y$.

Уравнение оси $y$ — это $x=0$. Чтобы уравнение $ax + by + c = 0$ было эквивалентно уравнению $x=0$, оно должно выполняться для любого значения $y$ при $x=0$. Подставим $x=0$ в общее уравнение: $by + c = 0$. Это равенство должно быть верным для любого $y$. Такое возможно только если $b=0$ и $c=0$.

При этих условиях исходное уравнение принимает вид $ax = 0$. Чтобы из него следовало $x=0$, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

Итак, для совпадения с осью $y$: $b=0, c=0, a \neq 0$.

Ответ: Прямая совпадает с осью $x$ при $a=0, c=0, b \neq 0$. Прямая совпадает с осью $y$ при $b=0, c=0, a \neq 0$.