Страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9.34 Постройте график линейной функции $y = 3x - 6$ и с его помощью решите неравенство:

а) $3x - 6 > 0;$

б) $3x - 6 \le 0;$

в) $3x - 6 < 0;$

г) $3x - 6 \ge 0.$

Для решения задачи сначала построим график линейной функции $y = 3x - 6$.

График линейной функции — это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого примем $x = 0$:

$y = 3 \cdot 0 - 6 = -6$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, -6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для этого примем $y = 0$:

$0 = 3x - 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.

Проведем прямую через точки $(0, -6)$ и $(2, 0)$. Эта прямая является графиком функции $y = 3x - 6$. График пересекает ось Ox в точке $x=2$ и является возрастающим, так как угловой коэффициент $k=3$ положителен.

Теперь, используя построенный график, решим неравенства.

а) $3x - 6 > 0$

Решить неравенство $3x - 6 > 0$ графически означает найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = 3x - 6$ положительны, то есть $y > 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена выше оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это происходит при всех значениях $x$, которые больше абсциссы точки пересечения с осью Ox.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б) $3x - 6 \le 0$

Решить неравенство $3x - 6 \le 0$ графически означает найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = 3x - 6$ не положительны, то есть $y \le 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена на оси Ox или ниже нее. Глядя на график, мы видим, что это происходит при всех значениях $x$, которые меньше или равны абсциссе точки пересечения с осью Ox.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

в) $3x - 6 < 0$

Решить неравенство $3x - 6 < 0$ графически означает найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = 3x - 6$ отрицательны, то есть $y < 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена строго ниже оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это происходит при всех значениях $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения с осью Ox.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

г) $3x - 6 \ge 0$

Решить неравенство $3x - 6 \ge 0$ графически означает найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = 3x - 6$ не отрицательны, то есть $y \ge 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена на оси Ox или выше нее. Глядя на график, мы видим, что это происходит при всех значениях $x$, которые больше или равны абсциссе точки пересечения с осью Ox.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

9.35 Постройте график линейной функции $y = 4x + 4$ и с его помощью решите неравенство:

а) $4x + 4 > 0;$

б) $4x + 4 \le 0;$

в) $4x + 4 < 0;$

г) $4x + 4 \ge 0.$

Для решения неравенств построим график линейной функции $y = 4x + 4$. Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек.

1. Найдем точку пересечения графика с осью ординат (Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 4 \cdot 0 + 4 = 4$.
Таким образом, первая точка имеет координаты (0; 4).

2. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (Ox). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = 4x + 4$
$4x = -4$
$x = -1$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты (-1; 0).

Теперь построим прямую, проходящую через эти две точки (0; 4) и (-1; 0).

Теперь решим неравенства с помощью построенного графика. Выражение $4x + 4$ в левой части неравенств соответствует значениям функции $y$.

а) $4x + 4 > 0$
Это неравенство означает, что $y > 0$. По графику находим значения $x$, при которых прямая расположена выше оси Ox. Это происходит для всех $x$ справа от точки пересечения с осью Ox, то есть при $x > -1$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) $4x + 4 \le 0$
Это неравенство означает, что $y \le 0$. По графику находим значения $x$, при которых прямая расположена на оси Ox или ниже нее. Это происходит для всех $x$ в точке пересечения с осью Ox и левее нее, то есть при $x \le -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

в) $4x + 4 < 0$
Это неравенство означает, что $y < 0$. По графику находим значения $x$, при которых прямая расположена ниже оси Ox. Это происходит для всех $x$ слева от точки пересечения с осью Ox, то есть при $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

г) $4x + 4 \ge 0$
Это неравенство означает, что $y \ge 0$. По графику находим значения $x$, при которых прямая расположена на оси Ox или выше нее. Это происходит для всех $x$ в точке пересечения с осью Ox и правее нее, то есть при $x \ge -1$.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

О 9.36 Постройте график линейной функции $y = -x - 2$ и с его помощью решите неравенство:

а) $-x - 2 > 0;$

б) $-x - 2 \le 0;$

в) $-x - 2 < 0;$

г) $-x - 2 \ge 0.$

Сначала построим график линейной функции $y = -x - 2$. Графиком является прямая. Для ее построения найдем координаты двух точек, например, точек пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью Oy (осью ординат). Для этого примем $x = 0$:
$y = -0 - 2 = -2$.
Получили точку A с координатами $(0; -2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью Ox (осью абсцисс). Для этого примем $y = 0$:
$0 = -x - 2$
$x = -2$.
Получили точку B с координатами $(-2; 0)$.

Проведем прямую через точки A$(0; -2)$ и B$(-2; 0)$. Эта прямая является графиком функции $y = -x - 2$. Точка $x = -2$ — это нуль функции (значение $x$, при котором $y=0$). Поскольку угловой коэффициент $k = -1$ отрицательный, функция является убывающей. Это означает, что для всех $x < -2$ график функции находится выше оси Ox (значения $y$ положительны), а для всех $x > -2$ график находится ниже оси Ox (значения $y$ отрицательны).

Теперь решим неравенства, анализируя положение графика относительно оси Ox.

а) Неравенство $-x - 2 > 0$ равносильно условию $y > 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена выше оси Ox. Глядя на график, видим, что это происходит для всех значений $x$ левее точки пересечения с осью Ox, то есть при $x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

б) Неравенство $-x - 2 \le 0$ равносильно условию $y \le 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена на оси Ox или ниже нее. Глядя на график, видим, что это происходит в точке $x = -2$ и для всех значений $x$ правее этой точки, то есть при $x \ge -2$.
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

в) Неравенство $-x - 2 < 0$ равносильно условию $y < 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена ниже оси Ox. Глядя на график, видим, что это происходит для всех значений $x$ правее точки пересечения с осью Ox, то есть при $x > -2$.
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) Неравенство $-x - 2 \ge 0$ равносильно условию $y \ge 0$. Это соответствует той части графика, которая расположена на оси Ox или выше нее. Глядя на график, видим, что это происходит в точке $x = -2$ и для всех значений $x$ левее этой точки, то есть при $x \le -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

9.37 Постройте график линейной функции $y = -2x + 4$ и с его помощью решите неравенство:

a) $ -2x + 4 > 0; $

б) $ -2x + 4 \le 0; $

в) $ -2x + 4 < 0; $

г) $ -2x + 4 \ge 0. $

Для решения задачи необходимо сначала построить график линейной функции $y = -2x + 4$. Графиком этой функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей. Удобнее всего найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 4)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого нужно подставить $y=0$ в уравнение функции:
$0 = -2x + 4$
$2x = 4$
$x = 2$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$, мы получим график функции $y = -2x + 4$. Эта прямая пересекает ось $Ox$ в точке $x=2$.

Теперь используем построенный график для решения неравенств.

а) Решить неравенство $-2x + 4 > 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y > 0$. По графику видно, что значения функции положительны (график находится выше оси $Ox$) для всех $x$, которые лежат левее точки пересечения с осью $Ox$. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Решить неравенство $-2x + 4 \le 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y \le 0$. По графику видно, что значения функции равны нулю или отрицательны (график находится на оси $Ox$ или ниже нее) для всех $x$, которые находятся в точке пересечения с осью $Ox$ или правее нее. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

в) Решить неравенство $-2x + 4 < 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y < 0$. По графику видно, что значения функции отрицательны (график находится ниже оси $Ox$) для всех $x$, которые лежат правее точки пересечения с осью $Ox$. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

г) Решить неравенство $-2x + 4 \ge 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y \ge 0$. По графику видно, что значения функции равны нулю или положительны (график находится на оси $Ox$ или выше нее) для всех $x$, которые находятся в точке пересечения с осью $Ox$ или левее нее. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x \le 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

Постройте график линейной функции $y = 2x + 3$ и выделите его часть, соответствующую заданному промежутку оси $x$:

9.38 а) $[0; 1];$

б) $[-2; 2];$

в) $[1; 3];$

г) $[-1; 1].$

Сначала построим график линейной функции $y = 2x + 3$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этому графику, и провести через них прямую. Возьмем две точки для примера: при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$, получаем точку (0; 3); при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$, получаем точку (1; 5). Проведя прямую через эти две точки, мы получим полный график функции. Далее для каждого подпункта мы выделим на этой прямой отрезок, соответствующий заданному промежутку по оси $x$. Границы этого отрезка определяются значениями функции на концах заданного промежутка.

а) [0; 1];

Требуется выделить часть графика на промежутке $x \in [0; 1]$. Для этого найдем значения функции на концах этого промежутка. При $x = 0$ получаем $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$, что дает нам начальную точку отрезка (0; 3). При $x = 1$ получаем $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$, что дает нам конечную точку отрезка (1; 5).

Ответ: Искомая часть графика – это отрезок прямой $y = 2x + 3$, соединяющий точки с координатами (0; 3) и (1; 5).

б) [-2; 2];

Требуется выделить часть графика на промежутке $x \in [-2; 2]$. Найдем значения функции на концах этого промежутка. При $x = -2$ получаем $y = 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$, что дает нам начальную точку отрезка (-2; -1). При $x = 2$ получаем $y = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$, что дает нам конечную точку отрезка (2; 7).

Ответ: Искомая часть графика – это отрезок прямой $y = 2x + 3$, соединяющий точки с координатами (-2; -1) и (2; 7).

в) [1; 3];

Требуется выделить часть графика на промежутке $x \in [1; 3]$. Найдем значения функции на концах этого промежутка. При $x = 1$ получаем $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$, что дает нам начальную точку отрезка (1; 5). При $x = 3$ получаем $y = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$, что дает нам конечную точку отрезка (3; 9).

Ответ: Искомая часть графика – это отрезок прямой $y = 2x + 3$, соединяющий точки с координатами (1; 5) и (3; 9).

г) [-1; 1].

Требуется выделить часть графика на промежутке $x \in [-1; 1]$. Найдем значения функции на концах этого промежутка. При $x = -1$ получаем $y = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$, что дает нам начальную точку отрезка (-1; 1). При $x = 1$ получаем $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$, что дает нам конечную точку отрезка (1; 5).

Ответ: Искомая часть графика – это отрезок прямой $y = 2x + 3$, соединяющий точки с координатами (-1; 1) и (1; 5).

9.39 а) $ (-\infty; 1) $;

б) $ (-2; +\infty) $;

в) $ (-\infty; -2) $;

г) $ (0; +\infty) $.

а) Числовой промежуток $(-\infty; 1)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго меньше 1. Символ $-\infty$ (минус бесконечность) указывает на то, что промежуток не ограничен слева. Круглая скобка у числа 1 означает, что само число 1 не включается в данный промежуток, что соответствует строгому неравенству. Если обозначить переменную, принадлежащую этому промежутку, как $x$, то это можно записать в виде неравенства $x < 1$.
Ответ: $x < 1$

б) Числовой промежуток $(-2; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго больше -2. Круглая скобка у числа -2 означает, что само число -2 не включается в данный промежуток. Символ $+\infty$ (плюс бесконечность) указывает на то, что промежуток не ограничен справа. Если обозначить переменную, принадлежащую этому промежутку, как $x$, то это условие записывается в виде неравенства $x > -2$.
Ответ: $x > -2$

в) Числовой промежуток $(-\infty; -2)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго меньше -2. Символ $-\infty$ означает, что промежуток неограничен с левой стороны. Круглая скобка у числа -2 показывает, что сама точка -2 не принадлежит этому множеству. Для переменной $x$, принадлежащей этому промежутку, соответствующее неравенство будет $x < -2$.
Ответ: $x < -2$

г) Числовой промежуток $(0; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго больше 0. Это также называется множеством всех положительных действительных чисел. Круглая скобка у числа 0 означает, что 0 не входит в этот промежуток. Символ $+\infty$ показывает, что промежуток неограничен с правой стороны. Если переменная $x$ принадлежит данному промежутку, то для нее выполняется неравенство $x > 0$.
Ответ: $x > 0$

9.40 а) $ (-\infty; 1] $;

б) $ [-2; +\infty] $;

в) $ (-\infty; -2] $;

г) $ [0; +\infty) $.

а) Числовой промежуток $(-\infty; 1]$ обозначает все действительные числа, которые меньше или равны 1. Символ $(-\infty$ указывает, что промежуток неограничен слева. Квадратная скобка $]$ указывает, что число 1 включено в промежуток. Это условие записывается в виде нестрогого неравенства.
Ответ: $x \le 1$

б) Числовой промежуток $[-2; +\infty)$ обозначает все действительные числа, которые больше или равны -2. Квадратная скобка $[$ указывает, что число -2 включено в промежуток. Символ $+\infty)$ указывает, что промежуток неограничен справа. Это условие записывается в виде нестрогого неравенства.
Ответ: $x \ge -2$

в) Числовой промежуток $(-\infty; -2]$ обозначает все действительные числа, которые меньше или равны -2. Символ $(-\infty$ указывает, что промежуток неограничен слева. Квадратная скобка $]$ указывает, что число -2 включено в промежуток. Это условие записывается в виде нестрогого неравенства.
Ответ: $x \le -2$

г) Числовой промежуток $[0; +\infty)$ обозначает все действительные числа, которые больше или равны 0. Квадратная скобка $[$ указывает, что число 0 включено в промежуток. Символ $+\infty)$ указывает, что промежуток неограничен справа. Это условие записывается в виде нестрогого неравенства.
Ответ: $x \ge 0$

9.41 a) $(-2; 0)$;

б) $(-2; -1)$;

в) $(-1; 1)$;

г) $(-1; 3)$.

Подразумевается, что задача состоит в том, чтобы определить, какая из заданных точек лежит на окружности, уравнение которой $x^2 + y^2 = 4$. Для этого необходимо последовательно подставить координаты каждой точки в уравнение и проверить, будет ли оно выполняться.

а)

Проверим точку с координатами $(-2; 0)$. Подставим значения $x = -2$ и $y = 0$ в левую часть уравнения окружности:

$x^2 + y^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4$.

Результат ($4$) совпадает с правой частью уравнения ($4$). Равенство $4 = 4$ является верным, следовательно, точка лежит на окружности.

Ответ: точка $(-2; 0)$ лежит на окружности.

б)

Проверим точку с координатами $(-2; -1)$. Подставим значения $x = -2$ и $y = -1$ в левую часть уравнения окружности:

$x^2 + y^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

Результат ($5$) не совпадает с правой частью уравнения ($4$). Равенство $5 = 4$ является неверным, следовательно, точка не лежит на окружности.

Ответ: точка $(-2; -1)$ не лежит на окружности.

в)

Проверим точку с координатами $(-1; 1)$. Подставим значения $x = -1$ и $y = 1$ в левую часть уравнения окружности:

$x^2 + y^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Результат ($2$) не совпадает с правой частью уравнения ($4$). Равенство $2 = 4$ является неверным, следовательно, точка не лежит на окружности.

Ответ: точка $(-1; 1)$ не лежит на окружности.

г)

Проверим точку с координатами $(-1; 3)$. Подставим значения $x = -1$ и $y = 3$ в левую часть уравнения окружности:

$x^2 + y^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.

Результат ($10$) не совпадает с правой частью уравнения ($4$). Равенство $10 = 4$ является неверным, следовательно, точка не лежит на окружности.

Ответ: точка $(-1; 3)$ не лежит на окружности.

Постройте график линейной функции $y = -3x + 1$ и выделите его часть, соответствующую заданному промежутку оси $x$:

9.42 а) $[1; 2);$

б) $(-2; -1];$

в) $[0; 1);$

г) $(-1; 0].$

Для построения графика линейной функции $y = -3x + 1$ и выделения его части на заданном промежутке, сначала определим координаты конечных точек этого промежутка. График данной функции представляет собой прямую линию. Поскольку угловой коэффициент $k = -3$ отрицателен, функция является убывающей.

а) [1; 2);

Найдем значения функции $y$ на концах промежутка $x \in [1; 2)$.

1. При $x = 1$ (этот конец промежутка включен), значение функции равно:

$y(1) = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2$

Таким образом, мы получаем точку с координатами $(1, -2)$, которая принадлежит графику (на графике она отмечается закрашенным кружком).

2. При $x = 2$ (этот конец промежутка исключен), значение функции равно:

$y(2) = -3 \cdot 2 + 1 = -6 + 1 = -5$

Таким образом, мы получаем точку с координатами $(2, -5)$, которая не принадлежит графику (на графике она отмечается выколотым или пустым кружком).

Искомая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, -2)$ и $(2, -5)$.

Ответ: Часть графика функции — это отрезок прямой с концами в точках $(1, -2)$ и $(2, -5)$, при этом точка $(1, -2)$ включена в график, а точка $(2, -5)$ исключена.

б) (-2; -1];

Найдем значения функции $y$ на концах промежутка $x \in (-2; -1]$.

1. При $x = -2$ (этот конец промежутка исключен):

$y(-2) = -3 \cdot (-2) + 1 = 6 + 1 = 7$

Получаем точку с координатами $(-2, 7)$, которая не принадлежит графику (выколотая точка).

2. При $x = -1$ (этот конец промежутка включен):

$y(-1) = -3 \cdot (-1) + 1 = 3 + 1 = 4$

Получаем точку с координатами $(-1, 4)$, которая принадлежит графику (закрашенная точка).

Искомая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 7)$ и $(-1, 4)$.

Ответ: Часть графика функции — это отрезок прямой с концами в точках $(-2, 7)$ и $(-1, 4)$, при этом точка $(-2, 7)$ исключена из графика, а точка $(-1, 4)$ включена.

в) [0; 1);

Найдем значения функции $y$ на концах промежутка $x \in [0; 1)$.

1. При $x = 0$ (этот конец промежутка включен):

$y(0) = -3 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

Получаем точку с координатами $(0, 1)$, которая принадлежит графику (закрашенная точка).

2. При $x = 1$ (этот конец промежутка исключен):

$y(1) = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2$

Получаем точку с координатами $(1, -2)$, которая не принадлежит графику (выколотая точка).

Искомая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(1, -2)$.

Ответ: Часть графика функции — это отрезок прямой с концами в точках $(0, 1)$ и $(1, -2)$, при этом точка $(0, 1)$ включена в график, а точка $(1, -2)$ исключена.

г) (-1; 0].

Найдем значения функции $y$ на концах промежутка $x \in (-1; 0]$.

1. При $x = -1$ (этот конец промежутка исключен):

$y(-1) = -3 \cdot (-1) + 1 = 3 + 1 = 4$

Получаем точку с координатами $(-1, 4)$, которая не принадлежит графику (выколотая точка).

2. При $x = 0$ (этот конец промежутка включен):

$y(0) = -3 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

Получаем точку с координатами $(0, 1)$, которая принадлежит графику (закрашенная точка).

Искомая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 4)$ и $(0, 1)$.

Ответ: Часть графика функции — это отрезок прямой с концами в точках $(-1, 4)$ и $(0, 1)$, при этом точка $(-1, 4)$ исключена из графика, а точка $(0, 1)$ включена.

9.43 а) $(-\infty; 0]$

б) $(2; +\infty)$

в) $(-\infty; 0)$

г) $[1; +\infty)$

а)

Данный интервал $x \in (-\infty; 0]$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые меньше или равны нулю. Этому числовому промежутку соответствует простейшее неравенство $x \le 0$.

Решением неравенства $x \le 0$ являются все числа на координатной прямой, которые расположены левее точки 0, а также сама точка 0. В интервальной записи это обозначается следующим образом:

• Круглая скобка '(' у $-\infty$ (минус бесконечности) используется всегда, так как бесконечность не является конкретным числом.
• Квадратная скобка ']' у числа 0 показывает, что граница промежутка, то есть число 0, включается в решение (соответствует знаку $\le$).

Ответ: $(-\infty; 0]$

б)

Данный интервал $x \in (2; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго больше двух. Этому числовому промежутку соответствует простейшее неравенство $x > 2$.

Решением неравенства $x > 2$ являются все числа на координатной прямой, которые расположены правее точки 2. Сама точка 2 в решение не входит. В интервальной записи это обозначается следующим образом:

• Круглая скобка '(' у числа 2 показывает, что граница промежутка, то есть число 2, не включается в решение (соответствует знаку $>$).
• Круглая скобка ')' у $+\infty$ (плюс бесконечности) используется всегда, так как бесконечность не является конкретным числом.

Ответ: $(2; +\infty)$

в)

Данный интервал $x \in (-\infty; 0)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго меньше нуля. Этому числовому промежутку соответствует простейшее неравенство $x < 0$.

Решением неравенства $x < 0$ являются все числа на координатной прямой, которые расположены левее точки 0. Сама точка 0 в решение не входит. В интервальной записи это обозначается следующим образом:

• Круглая скобка '(' у $-\infty$ (минус бесконечности) используется всегда.
• Круглая скобка ')' у числа 0 показывает, что граница промежутка, то есть число 0, не включается в решение (соответствует знаку $<$).

Ответ: $(-\infty; 0)$

г)

Данный интервал $x \in [1; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые больше или равны единице. Этому числовому промежутку соответствует простейшее неравенство $x \ge 1$.

Решением неравенства $x \ge 1$ являются все числа на координатной прямой, которые расположены правее точки 1, а также сама точка 1. В интервальной записи это обозначается следующим образом:

• Квадратная скобка '[' у числа 1 показывает, что граница промежутка, то есть число 1, включается в решение (соответствует знаку $\ge$).
• Круглая скобка ')' у $+\infty$ (плюс бесконечности) используется всегда.

Ответ: $[1; +\infty)$

9.44 a) $[0; 2];

б) $(1; 3);

в) $[-1; 1];

г) $(-2; 1].

Поскольку в условии задачи не указана функция, для которой требуется найти наибольшее и наименьшее значения на заданных промежутках, мы не можем предоставить точное решение. Вероятно, функция была указана в общем условии для группы задач.

Однако мы можем продемонстрировать общий метод решения на примере типичной для таких заданий функции. Возьмем для примера функцию $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$.

Алгоритм решения:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Для каждого заданного промежутка:
а) Выбрать критические точки, которые попадают в этот промежуток.
б) Вычислить значения функции в этих точках, а также на концах промежутка (если они включены).
в) Сравнить все полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.

Применение алгоритма к функции $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^3 - 9x^2 + 15x - 3)' = 3x^2 - 18x + 15$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 18x + 15 = 0$
Разделим на 3: $x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Это и есть критические точки функции.

а) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0; 2]$.
В этот отрезок попадает одна критическая точка: $x=1$.
Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка ($x=0$ и $x=2$):
$f(0) = 0^3 - 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 - 3 = -3$
$f(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$
$f(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$
Сравниваем полученные значения: $\{-3, 4, -1\}$. Наибольшее из них равно 4, а наименьшее равно -3.
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (достигается при $x=1$), наименьшее значение $y_{наим} = -3$ (достигается при $x=0$).

б) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на интервале $(1; 3)$.
В этот интервал не попадает ни одна из критических точек ($x=1$ и $x=5$).
Определим знак производной $f'(x) = 3(x-1)(x-5)$ на интервале $(1; 3)$. Для этого возьмем любую точку из интервала, например $x=2$: $f'(2) = 3(2-1)(2-5) = 3 \cdot 1 \cdot (-3) = -9 < 0$.
Поскольку производная на интервале отрицательна, функция на нем монотонно убывает.
Так как интервал открытый, функция не достигает своих точных верхней и нижней границ. Она лишь стремится к значениям на концах интервала:
При $x \to 1^+$, $f(x) \to f(1) = 4$.
При $x \to 3^-$, $f(x) \to f(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$.
Значения функции на интервале $(1; 3)$ лежат в промежутке $(-12; 4)$, но сами эти значения не достигаются.
Ответ: На данном интервале наибольшего и наименьшего значений нет.

в) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 1]$.
Внутри интервала $(-1, 1)$ критических точек нет. Точка $x=1$ является правым концом отрезка.
Определим знак производной $f'(x) = 3(x-1)(x-5)$ на интервале $(-1; 1)$. Возьмем пробную точку $x=0$: $f'(0) = 3(0-1)(0-5) = 15 > 0$.
Следовательно, функция монотонно возрастает на всем отрезке $[-1; 1]$.
Это означает, что наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.
$f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) - 3 = -1 - 9 - 15 - 3 = -28$
$f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15(1) - 3 = 4$
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (достигается при $x=1$), наименьшее значение $y_{наим} = -28$ (достигается при $x=-1$).

г) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале $(-2; 1]$.
Как и в предыдущем пункте, функция монотонно возрастает на этом промежутке, так как производная $f'(x)$ здесь положительна (для всех $x < 1$).
Наибольшее значение достигается на правом конце $x=1$, так как он включен в промежуток.
$y_{наиб} = f(1) = 4$.
Наименьшее значение не достигается, так как левый конец $x=-2$ не включен в промежуток. Функция только стремится к значению в этой точке:
При $x \to -2^+$, $f(x) \to f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 15(-2) - 3 = -8 - 36 - 30 - 3 = -77$.
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (достигается при $x=1$), а наименьшего значения нет.