Номер 9.37, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.37 Постройте график линейной функции $y = -2x + 4$ и с его помощью решите неравенство:

a) $ -2x + 4 > 0; $

б) $ -2x + 4 \le 0; $

в) $ -2x + 4 < 0; $

г) $ -2x + 4 \ge 0. $

Для решения задачи необходимо сначала построить график линейной функции $y = -2x + 4$. Графиком этой функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей. Удобнее всего найти точки пересечения графика с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 4)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого нужно подставить $y=0$ в уравнение функции:
$0 = -2x + 4$
$2x = 4$
$x = 2$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$, мы получим график функции $y = -2x + 4$. Эта прямая пересекает ось $Ox$ в точке $x=2$.

Теперь используем построенный график для решения неравенств.

а) Решить неравенство $-2x + 4 > 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y > 0$. По графику видно, что значения функции положительны (график находится выше оси $Ox$) для всех $x$, которые лежат левее точки пересечения с осью $Ox$. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Решить неравенство $-2x + 4 \le 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y \le 0$. По графику видно, что значения функции равны нулю или отрицательны (график находится на оси $Ox$ или ниже нее) для всех $x$, которые находятся в точке пересечения с осью $Ox$ или правее нее. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

в) Решить неравенство $-2x + 4 < 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y < 0$. По графику видно, что значения функции отрицательны (график находится ниже оси $Ox$) для всех $x$, которые лежат правее точки пересечения с осью $Ox$. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

г) Решить неравенство $-2x + 4 \ge 0$ — это то же самое, что найти значения $x$, для которых $y \ge 0$. По графику видно, что значения функции равны нулю или положительны (график находится на оси $Ox$ или выше нее) для всех $x$, которые находятся в точке пересечения с осью $Ox$ или левее нее. Точка пересечения — $x=2$. Следовательно, решением является промежуток $x \le 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.