Номер 9.31, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.31 Постройте график функции $y = -0,5x + 2$ и прямую $y = 4$.

а) Найдите координаты точки пересечения прямых.

б) Выделите ту часть графика функции $y = -0,5x + 2$, которая расположена ниже прямой $y = 4$. Какие значения $y$ соответствуют выделенной части графика? Какие значения при этом принимает выражение $-0,5x + 2$?

в) Определите, какие значения $x$ соответствуют выделенной части графика линейной функции.

г) Найдите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $-0,5x + 2 > 4$.

Сначала построим графики.
1. График функции $y = -0,5x + 2$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек.

• Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0; 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = -0,5 \cdot 2 + 2 = -1 + 2 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Проводим прямую через точки $(0; 2)$ и $(2; 1)$.
2. График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0; 4)$ на оси ординат (оси Oy).

а) Найдите координаты точки пересечения прямых.
В точке пересечения значения $y$ для обеих функций одинаковы. Приравняем правые части уравнений:
$-0,5x + 2 = 4$
Перенесём 2 в правую часть:
$-0,5x = 4 - 2$
$-0,5x = 2$
Найдём $x$, разделив обе части на $-0,5$:
$x = \frac{2}{-0,5} = -4$
Координата $y$ точки пересечения равна 4. Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-4; 4)$.
Ответ: $(-4; 4)$.

б) Выделите ту часть графика функции $y = -0,5x + 2$, которая расположена ниже прямой $y = 4$. Какие значения $y$ соответствуют выделенной части графика? Какие значения при этом принимает выражение $-0,5x + 2$?
Часть графика функции $y = -0,5x + 2$, расположенная ниже прямой $y = 4$, — это луч, исходящий из точки пересечения $(-4; 4)$ (не включая саму точку) и идущий вправо и вниз.
Для любой точки на этой части графика её координата $y$ будет строго меньше 4. Таким образом, значения $y$ соответствуют неравенству $y < 4$.
Поскольку по определению функции $y = -0,5x + 2$, выражение $-0,5x + 2$ принимает те же значения, что и $y$. Следовательно, это выражение принимает значения, строго меньшие 4.
Ответ: Выделенной части графика соответствуют значения $y < 4$. Выражение $-0,5x + 2$ также принимает значения, меньшие 4.

в) Определите, какие значения $x$ соответствуют выделенной части графика линейной функции.
Выделенная часть графика — это та часть, где выполняется условие "ниже прямой $y=4$". Математически это записывается как неравенство:
$-0,5x + 2 < 4$
Решим это неравенство относительно $x$:
$-0,5x < 4 - 2$
$-0,5x < 2$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-0,5$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{2}{-0,5}$
$x > -4$
Это означает, что выделенной части графика соответствуют все значения $x$ строго больше -4.
Ответ: $x > -4$.

г) Найдите, при каких значениях $x$ выполняется неравенство $-0,5x + 2 > 4$.
Это неравенство описывает условие, при котором график функции $y = -0,5x + 2$ находится *выше* прямой $y = 4$.
Решим неравенство:
$-0,5x + 2 > 4$
$-0,5x > 4 - 2$
$-0,5x > 2$
Разделим обе части на $-0,5$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{2}{-0,5}$
$x < -4$
Неравенство выполняется для всех значений $x$ строго меньше -4.
Ответ: $x < -4$.