Номер 9.44, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.44 a) $[0; 2];

б) $(1; 3);

в) $[-1; 1];

г) $(-2; 1].

Поскольку в условии задачи не указана функция, для которой требуется найти наибольшее и наименьшее значения на заданных промежутках, мы не можем предоставить точное решение. Вероятно, функция была указана в общем условии для группы задач.

Однако мы можем продемонстрировать общий метод решения на примере типичной для таких заданий функции. Возьмем для примера функцию $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$.

Алгоритм решения:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Для каждого заданного промежутка:
а) Выбрать критические точки, которые попадают в этот промежуток.
б) Вычислить значения функции в этих точках, а также на концах промежутка (если они включены).
в) Сравнить все полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.

Применение алгоритма к функции $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^3 - 9x^2 + 15x - 3)' = 3x^2 - 18x + 15$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 18x + 15 = 0$
Разделим на 3: $x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Это и есть критические точки функции.

а) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0; 2]$.
В этот отрезок попадает одна критическая точка: $x=1$.
Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка ($x=0$ и $x=2$):
$f(0) = 0^3 - 9 \cdot 0^2 + 15 \cdot 0 - 3 = -3$
$f(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$
$f(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 15 \cdot 2 - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$
Сравниваем полученные значения: $\{-3, 4, -1\}$. Наибольшее из них равно 4, а наименьшее равно -3.
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (достигается при $x=1$), наименьшее значение $y_{наим} = -3$ (достигается при $x=0$).

б) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на интервале $(1; 3)$.
В этот интервал не попадает ни одна из критических точек ($x=1$ и $x=5$).
Определим знак производной $f'(x) = 3(x-1)(x-5)$ на интервале $(1; 3)$. Для этого возьмем любую точку из интервала, например $x=2$: $f'(2) = 3(2-1)(2-5) = 3 \cdot 1 \cdot (-3) = -9 < 0$.
Поскольку производная на интервале отрицательна, функция на нем монотонно убывает.
Так как интервал открытый, функция не достигает своих точных верхней и нижней границ. Она лишь стремится к значениям на концах интервала:
При $x \to 1^+$, $f(x) \to f(1) = 4$.
При $x \to 3^-$, $f(x) \to f(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$.
Значения функции на интервале $(1; 3)$ лежат в промежутке $(-12; 4)$, но сами эти значения не достигаются.
Ответ: На данном интервале наибольшего и наименьшего значений нет.

в) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 1]$.
Внутри интервала $(-1, 1)$ критических точек нет. Точка $x=1$ является правым концом отрезка.
Определим знак производной $f'(x) = 3(x-1)(x-5)$ на интервале $(-1; 1)$. Возьмем пробную точку $x=0$: $f'(0) = 3(0-1)(0-5) = 15 > 0$.
Следовательно, функция монотонно возрастает на всем отрезке $[-1; 1]$.
Это означает, что наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.
$f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) - 3 = -1 - 9 - 15 - 3 = -28$
$f(1) = 1^3 - 9(1)^2 + 15(1) - 3 = 4$
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (достигается при $x=1$), наименьшее значение $y_{наим} = -28$ (достигается при $x=-1$).

г) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале $(-2; 1]$.
Как и в предыдущем пункте, функция монотонно возрастает на этом промежутке, так как производная $f'(x)$ здесь положительна (для всех $x < 1$).
Наибольшее значение достигается на правом конце $x=1$, так как он включен в промежуток.
$y_{наиб} = f(1) = 4$.
Наименьшее значение не достигается, так как левый конец $x=-2$ не включен в промежуток. Функция только стремится к значению в этой точке:
При $x \to -2^+$, $f(x) \to f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 15(-2) - 3 = -8 - 36 - 30 - 3 = -77$.
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (достигается при $x=1$), а наименьшего значения нет.