Номер 9.49, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.49 Постройте график линейной функции $y = x + 5$ и с его помощью найдите:

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y < 0$;

в) отрезок оси $x$, на котором выполняется неравенство $0 \le y \le 5$;

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке $[-4; 1]$.

Для построения графика линейной функции $y = x + 5$ достаточно найти две точки, принадлежащие этому графику, и провести через них прямую.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 0 + 5 = 5$.
Получили точку $(0; 5)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = x + 5$
$x = -5$.
Получили точку $(-5; 0)$.

Отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Это и будет график функции $y = x + 5$.

Теперь с помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;
Точки пересечения с осями были найдены при построении графика.
Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат) происходит при $x = 0$. Координаты этой точки: $(0; 5)$.
Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс) происходит при $y = 0$. Координаты этой точки: $(-5; 0)$.
Ответ: $(0; 5)$ и $(-5; 0)$.

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство y < 0;
Неравенство $y < 0$ означает, что значения функции должны быть отрицательными. На графике это соответствует той части прямой, которая расположена ниже оси $Ox$.
Из графика видно, что прямая находится ниже оси $Ox$ левее точки пересечения с этой осью, то есть левее точки $x = -5$.
Таким образом, неравенство выполняется при $x < -5$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

в) отрезок оси x, на котором выполняется неравенство 0 ≤ y ≤ 5;
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения $y$ находятся в промежутке от 0 до 5 включительно. На графике это часть прямой, заключенная между горизонтальными линиями $y = 0$ (ось $Ox$) и $y = 5$.
Мы уже знаем, что $y=0$ при $x=-5$ и $y=5$ при $x=0$.
Так как функция $y=x+5$ возрастающая, то при изменении $x$ от -5 до 0, значение $y$ будет изменяться от 0 до 5.
Следовательно, искомый отрезок оси $x$ - это $[-5; 0]$.
Проверим алгебраически:
$0 \le x + 5 \le 5$
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$0 - 5 \le x \le 5 - 5$
$-5 \le x \le 0$.
Ответ: $[-5; 0]$.

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке [-4; 1].
Рассмотрим часть графика, соответствующую отрезку $x \in [-4; 1]$.
Так как функция $y = x + 5$ является возрастающей (коэффициент при $x$ положителен и равен 1), ее наименьшее значение на отрезке будет достигаться в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение функции будет при $x = -4$:
$y_{наим} = -4 + 5 = 1$.
Наибольшее значение функции будет при $x = 1$:
$y_{наиб} = 1 + 5 = 6$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 1]$ равно 1, наибольшее значение равно 6.