Номер 9.50, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.50 Постройте график линейной функции $y = -3x + 6$ и с его помощью найдите:

a) координаты точек пересечения графика с осями координат;

б) отрезок оси $x$, на котором выполняется неравенство $-3 \le y \le 0$;

в) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$;

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке $[-1; 2]$.

Для построения графика линейной функции $y = -3x + 6$ найдем координаты двух точек, через которые проходит эта прямая. Удобнее всего взять точки пересечения с осями координат.

1. При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0; 6)$.

2. При $y = 0$, $0 = -3x + 6$, откуда $3x = 6$ и $x = 2$. Точка пересечения с осью OX имеет координаты $(2; 0)$.

Проведя прямую через эти две точки, мы получим график функции $y = -3x + 6$. Это убывающая прямая, так как угловой коэффициент $k=-3$ отрицательный.

Теперь, используя график и уравнение, найдем требуемые значения.

а) координаты точек пересечения графика с осями координат;

Как мы определили при построении графика:

• Точка пересечения с осью ординат (OY) имеет координату $x=0$, что дает $y=6$. Координаты: $(0; 6)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (OX) имеет координату $y=0$, что дает $x=2$. Координаты: $(2; 0)$.

Ответ: с осью OY: $(0; 6)$; с осью OX: $(2; 0)$.

б) отрезок оси x, на котором выполняется неравенство $-3 \le y \le 0$;

Необходимо найти значения $x$, для которых соответствующие значения $y$ лежат в промежутке $[-3; 0]$.

Мы знаем, что $y=0$ при $x=2$.

Найдем значение $x$, при котором $y=-3$:

$-3 = -3x + 6$

$-3 - 6 = -3x$

$-9 = -3x$

$x = 3$

Поскольку функция убывающая, то значения $y$ от $-3$ до $0$ будут соответствовать значениям $x$ от $3$ до $2$. Таким образом, искомый отрезок оси $x$ - это $[2; 3]$.

Ответ: $[2; 3]$.

в) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$;

Неравенство $y > 0$ означает, что график функции расположен выше оси OX. Из графика видно, что это происходит левее точки пересечения с осью OX, то есть при $x < 2$.

Решим неравенство аналитически:

$-3x + 6 > 0$

$-3x > -6$

Разделим обе части на $-3$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке $[-1; 2]$;

Так как функция $y = -3x + 6$ является убывающей, свое наибольшее значение на отрезке она достигает в левой его точке, а наименьшее — в правой.

Найдем значение функции на концах отрезка $[-1; 2]$:

• Наибольшее значение (при $x=-1$): $y_{наиб.} = -3(-1) + 6 = 3 + 6 = 9$.
• Наименьшее значение (при $x=2$): $y_{наим.} = -3(2) + 6 = -6 + 6 = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, наибольшее значение равно $9$.