Номер 9.54, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.54 a) $y = \frac{1}{4}x + 2$, $[-4; 4];$б) $y = \frac{1}{4}x + 2$, $[0; +\infty);$В) $y = -\frac{1}{3}x - 1$, $(-\infty; 6];$Г) $y = -\frac{1}{3}x - 1$, $(-3; 3).$

Дана линейная функция $y = \frac{1}{4}x + 2$ на отрезке $[-4; 4]$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = \frac{1}{4}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей на всей области определения, включая данный отрезок.

Для нахождения множества значений функции на отрезке достаточно найти ее значения на концах этого отрезка.

Найдем значение функции в точке $x = -4$:

$y(-4) = \frac{1}{4} \cdot (-4) + 2 = -1 + 2 = 1$.

Найдем значение функции в точке $x = 4$:

$y(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Поскольку функция возрастает, наименьшее значение она принимает в левой крайней точке, а наибольшее — в правой. Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-4; 4]$ — это отрезок $[1; 3]$.

Ответ: $[1; 3]$

Дана линейная функция $y = \frac{1}{4}x + 2$ на промежутке $[0; +\infty)$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = \frac{1}{4} > 0$, следовательно, функция возрастающая.

Наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке промежутка, то есть при $x = 0$.

$y(0) = \frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 2$.

Так как $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции $y$ также будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$).

Следовательно, множество значений функции на промежутке $[0; +\infty)$ — это промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$

Дана линейная функция $y = -\frac{1}{3}x - 1$ на промежутке $(-\infty; 6]$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = -\frac{1}{3}$. Так как $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

На промежутке $(-\infty; 6]$ функция убывает. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Следовательно, наименьшее значение функция примет в правой крайней точке промежутка, то есть при $x = 6$.

$y(6) = -\frac{1}{3} \cdot 6 - 1 = -2 - 1 = -3$.

Так как $x$ может принимать сколь угодно малые значения ($x \to -\infty$), значение функции $y$ будет неограниченно возрастать ($y \to +\infty$).

Таким образом, множество значений функции на промежутке $(-\infty; 6]$ — это промежуток $[-3; +\infty)$.

Ответ: $[-3; +\infty)$

Дана линейная функция $y = -\frac{1}{3}x - 1$ на интервале $(-3; 3)$.

Коэффициент при $x$ (угловой коэффициент) $k = -\frac{1}{3} < 0$, следовательно, функция убывающая.

Так как функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Интервал для $x$ — $(-3; 3)$, то есть $-3 < x < 3$.

Применим свойство убывающей функции к неравенству: $y(3) < y(x) < y(-3)$.

Найдем значения функции на концах интервала, которые не включаются в множество значений:

$y(-3) = -\frac{1}{3} \cdot (-3) - 1 = 1 - 1 = 0$.

$y(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = -1 - 1 = -2$.

Поскольку точки $x=-3$ и $x=3$ не принадлежат интервалу, значения $y=0$ и $y=-2$ не достигаются функцией. Таким образом, множество значений функции — это интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $(-2; 0)$