Номер 9.48, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.48 Постройте график линейной функции $y = -2x + 6$ и с его помощью найдите:

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$;

в) решение неравенства $-2x + 6 < 0$;

г) значения $x$, при которых выполняется неравенство $y > 6$.

Для построения графика линейной функции $y = -2x + 6$ достаточно найти координаты двух точек, так как ее график — это прямая линия.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $y$). Для этого примем $x = 0$:
$y = -2 \cdot 0 + 6 = 6$
Получаем точку $(0, 6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Для этого примем $y = 0$:
$0 = -2x + 6$
$2x = 6$
$x = 3$
Получаем точку $(3, 0)$.

Теперь мы можем построить прямую, проходящую через эти две точки: $(0, 6)$ и $(3, 0)$. График представляет собой убывающую прямую, пересекающую ось $y$ в точке 6 и ось $x$ в точке 3. Используя этот график, найдем ответы на вопросы.

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс

Точка пересечения с осью абсцисс — это точка, в которой значение функции $y$ равно нулю. Мы уже нашли эту точку при построении графика.
$y = 0 \implies -2x + 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.
Координаты точки пересечения: $(3, 0)$.

Ответ: $(3, 0)$.

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y > 0$

Неравенство $y > 0$ означает, что график функции находится выше оси абсцисс ($x$). Глядя на график, мы видим, что прямая расположена выше оси $x$ для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с этой осью, то есть левее $x = 3$.
Следовательно, $y > 0$ при $x < 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) решение неравенства $-2x + 6 < 0$

Это неравенство эквивалентно неравенству $y < 0$. Оно выполняется для тех значений $x$, при которых график функции расположен ниже оси абсцисс. Это происходит правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > 3$.
Алгебраическое решение:
$-2x + 6 < 0$
$-2x < -6$
Делим обе части на -2 и меняем знак неравенства на противоположный:
$x > 3$

Ответ: $x \in (3; \infty)$.

г) значения x, при которых выполняется неравенство $y > 6$

Нам нужно найти значения $x$, для которых $-2x + 6 > 6$.
На графике это соответствует части прямой, которая находится выше горизонтальной линии $y = 6$. Мы знаем, что график проходит через точку $(0, 6)$. Поскольку прямая убывающая, значения $y$ будут больше 6 для всех $x$, которые находятся левее $x = 0$.
Решим неравенство алгебраически:
$-2x + 6 > 6$
$-2x > 6 - 6$
$-2x > 0$
Делим обе части на -2 и меняем знак неравенства:
$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.