Номер 9.47, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.47 Постройте график линейной функции $y = 3x - 9$ и с его помощью найдите:

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y < 0$;

в) решение неравенства $3x - 9 > 0$;

г) значения $x$, при которых выполняется неравенство $y > -9$.

Для построения графика линейной функции $y = 3x - 9$, которая представляет собой прямую линию, достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью OY). Для этого примем $x = 0$:
$y = 3 \cdot 0 - 9 = -9$.
Получили точку A с координатами $(0; -9)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью OX). Для этого примем $y = 0$:
$0 = 3x - 9$
$3x = 9$
$x = 3$.
Получили точку B с координатами $(3; 0)$.

Теперь построим в системе координат прямую, проходящую через точки A(0; -9) и B(3; 0). Это и будет график функции $y = 3x - 9$.

Используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) координаты точки пересечения графика с осью абсцисс;
Точка пересечения графика с осью абсцисс — это точка, у которой ордината $y$ равна нулю. Мы уже нашли эту точку при построении графика. Из графика видно, что прямая пересекает ось OX в точке, где $x = 3$.
Ответ: $(3; 0)$.

б) все значения аргумента, при которых выполняется неравенство $y < 0$;
Неравенство $y < 0$ означает, что значения функции отрицательны. На графике этому соответствует та часть прямой, которая расположена ниже оси абсцисс (оси OX). Глядя на график, мы видим, что это происходит для всех значений $x$, которые находятся левее точки пересечения с осью OX, то есть левее $x = 3$.
Ответ: $x < 3$, или $x \in (-\infty; 3)$.

в) решение неравенства $3x - 9 > 0$;
Так как $y = 3x - 9$, то неравенство $3x - 9 > 0$ эквивалентно неравенству $y > 0$. Это означает, что значения функции положительны. На графике этому соответствует та часть прямой, которая расположена выше оси абсцисс (оси OX). Это происходит для всех значений $x$, которые находятся правее точки пересечения с осью OX, то есть правее $x = 3$.
Ответ: $x > 3$, или $x \in (3; +\infty)$.

г) значения x, при которых выполняется неравенство $y > -9$.
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y = 3x - 9$ находится выше горизонтальной прямой $y = -9$. Из построения мы знаем, что график проходит через точку $(0; -9)$. Поскольку функция возрастающая (угловой коэффициент $k=3 > 0$), значения $y$ будут больше $-9$ для всех значений $x$, которые больше абсциссы этой точки, то есть больше 0.
Ответ: $x > 0$, или $x \in (0; +\infty)$.