Номер 9.53, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Найдите наименьшее и наибольшее значения линейной функции на заданном промежутке:

9.53 а) $y = 0,5x + 3$, $[2; 3]$

б) $y = -0,5x + 1$, $[-2; +\infty)$

в) $y = 2,5x - 4$, $(1; 2]$

г) $y = 2,5x - 4$, $(-\infty; 0]$

а) Дана линейная функция $y = 0,5x + 3$ на отрезке $[2; 3]$. Угловой коэффициент $k = 0,5$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. На отрезке $[a; b]$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в точке $x=a$, а наибольшее — в точке $x=b$.
Найдем наименьшее значение функции, подставив $x=2$:
$y_{\text{наим}} = y(2) = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$.
Найдем наибольшее значение функции, подставив $x=3$:
$y_{\text{наиб}} = y(3) = 0,5 \cdot 3 + 3 = 1,5 + 3 = 4,5$.
Ответ: наименьшее значение 4, наибольшее значение 4,5.

б) Дана линейная функция $y = -0,5x + 1$ на промежутке $[-2; +\infty)$. Угловой коэффициент $k = -0,5$. Поскольку $k < 0$, функция является убывающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$.
Наибольшее значение функция примет в наименьшей возможной точке $x$ из промежутка, то есть при $x = -2$.
$y_{\text{наиб}} = y(-2) = -0,5 \cdot (-2) + 1 = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $x$ может неограниченно возрастать ($x \to +\infty$), значение функции будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.
Ответ: наибольшее значение 2, наименьшего значения не существует.

в) Дана линейная функция $y = 2,5x - 4$ на интервале $(1; 2)$. Угловой коэффициент $k = 2,5$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Промежуток является открытым интервалом, что означает, что концы интервала, точки $x=1$ и $x=2$, не принадлежат области определения.
Найдем значения, к которым функция стремится на концах интервала:
При $x \to 1$, $y \to 2,5 \cdot 1 - 4 = -1,5$.
При $x \to 2$, $y \to 2,5 \cdot 2 - 4 = 5 - 4 = 1$.
Множество значений функции на данном интервале — это интервал $(-1,5; 1)$. В открытом интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Таким образом, функция не достигает своего наименьшего и наибольшего значений.
Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

г) Дана линейная функция $y = 2,5x - 4$ на промежутке $(-\infty; 0]$. Угловой коэффициент $k = 2,5$. Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем больше значение $y$.
Наибольшее значение функция примет в наибольшей возможной точке $x$ из промежутка, то есть при $x = 0$.
$y_{\text{наиб}} = y(0) = 2,5 \cdot 0 - 4 = -4$.
Поскольку $x$ может неограниченно убывать ($x \to -\infty$), значение функции также будет неограниченно убывать ($y \to -\infty$). Следовательно, наименьшего значения у функции на данном промежутке не существует.
Ответ: наибольшее значение -4, наименьшего значения не существует.