Номер 9.57, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.57 a) Найдите точку графика линейной функции $y = x + 15$, абсцисса которой в 2 раза меньше ординаты.

б) Найдите точку графика линейной функции $y = 2x - 35$, абсцисса которой в 3 раза больше ординаты.

а)

Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.
Так как точка принадлежит графику функции $y = x + 15$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению.
По условию задачи, абсцисса ($x$) этой точки в 2 раза меньше ее ординаты ($y$). Математически это можно записать как $x = \frac{y}{2}$ или $y = 2x$.
Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = x + 15 \\ y = 2x \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны: $2x = x + 15$
Перенесем $x$ в левую часть уравнения: $2x - x = 15$
$x = 15$
Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ во второе уравнение системы: $y = 2 \times 15 = 30$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(15; 30)$.
Проверка: абсцисса $15$ действительно в 2 раза меньше ординаты $30$ ($15 = 30 / 2$). Подставим координаты в уравнение функции: $30 = 15 + 15$, что является верным равенством.
Ответ: $(15; 30)$.

б)

Пусть искомая точка имеет координаты $(x; y)$.
Точка принадлежит графику функции $y = 2x - 35$, поэтому ее координаты удовлетворяют данному уравнению.
По условию задачи, абсцисса ($x$) этой точки в 3 раза больше ее ординаты ($y$). Математически это можно записать как $x = 3y$.
Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему из двух уравнений: $ \begin{cases} y = 2x - 35 \\ x = 3y \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $y = 2(3y) - 35$
$y = 6y - 35$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые значения — в другую: $35 = 6y - y$
$35 = 5y$
$y = \frac{35}{5} = 7$
Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ во второе уравнение системы: $x = 3 \times 7 = 21$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(21; 7)$.
Проверка: абсцисса $21$ действительно в 3 раза больше ординаты $7$ ($21 = 3 \times 7$). Подставим координаты в уравнение функции: $7 = 2 \times 21 - 35 \Rightarrow 7 = 42 - 35 \Rightarrow 7 = 7$, что является верным равенством.
Ответ: $(21; 7)$.