Номер 9.62, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.62 Определите знаки коэффициентов $k$ и $m$, если известно, что график линейной функции $y = kx + m$ проходит:

а) через первый, второй и третий координатные углы плоскости $xOy$;

б) через первый, второй и четвёртый координатные углы плоскости $xOy$;

в) через первый, третий и четвёртый координатные углы плоскости $xOy$;

г) через второй, третий и четвёртый координатные углы плоскости $xOy$.

Для решения задачи проанализируем, как знаки коэффициентов $k$ и $m$ в уравнении линейной функции $y = kx + m$ влияют на расположение ее графика на координатной плоскости.

• Коэффициент $m$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Если $m > 0$, точка пересечения находится выше оси $Ox$. Если $m < 0$ — ниже оси $Ox$.
• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) определяет наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (график идет вверх слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (график идет вниз слева направо).

а) через первый, второй и третий координатные углы плоскости xOy;

Если график проходит через первый (I) и второй (II) координатные углы, это означает, что существуют точки с положительной ординатой ($y>0$). Чтобы соединить эти два угла, прямая должна пересечь ось $Oy$ в точке с положительной ординатой. Следовательно, $m > 0$.

Если график проходит через первый (I: $x>0, y>0$) и третий (III: $x<0, y<0$) координатные углы, это означает, что с увеличением $x$ (при переходе из III в I) значение $y$ также увеличивается. Значит, функция является возрастающей, и ее угловой коэффициент положителен: $k > 0$.

Таким образом, для прохождения графика через I, II и III углы оба коэффициента должны быть положительными.

Ответ: $k > 0, m > 0$.

б) через первый, второй и четвёртый координатные углы плоскости xOy;

Аналогично пункту а), прохождение графика через первый (I) и второй (II) углы означает, что прямая пересекает ось $Oy$ в верхней полуплоскости. Следовательно, $m > 0$.

Если график проходит через второй (II: $x<0, y>0$) и четвёртый (IV: $x>0, y<0$) координатные углы, это означает, что с увеличением $x$ (при переходе из II в IV) значение $y$ уменьшается. Значит, функция является убывающей, и ее угловой коэффициент отрицателен: $k < 0$.

Таким образом, для прохождения графика через I, II и IV углы коэффициент $k$ должен быть отрицательным, а $m$ — положительным.

Ответ: $k < 0, m > 0$.

в) через первый, третий и четвёртый координатные углы плоскости xOy;

Если график проходит через третий (III) и четвёртый (IV) координатные углы, это означает, что существуют точки с отрицательной ординатой ($y<0$). Чтобы соединить эти два угла, прямая должна пересечь ось $Oy$ в точке с отрицательной ординатой. Следовательно, $m < 0$.

Как и в пункте а), прохождение через первый (I) и третий (III) углы означает, что функция возрастающая. Следовательно, $k > 0$.

Таким образом, для прохождения графика через I, III и IV углы коэффициент $k$ должен быть положительным, а $m$ — отрицательным.

Ответ: $k > 0, m < 0$.

г) через второй, третий и четвёртый координатные углы плоскости xOy.

Аналогично пункту в), прохождение графика через третий (III) и четвёртый (IV) углы означает, что прямая пересекает ось $Oy$ в нижней полуплоскости. Следовательно, $m < 0$.

Как и в пункте б), прохождение через второй (II) и четвёртый (IV) углы означает, что функция убывающая. Следовательно, $k < 0$.

Таким образом, для прохождения графика через II, III и IV углы оба коэффициента должны быть отрицательными.

Ответ: $k < 0, m < 0$.