Номер 9.66, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.66 Построив график линейной функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$, решите неравенство:

a) $3 - \frac{1}{2}x \le 0;$

в) $3 - \frac{1}{2}x \ge 0;$

б) $3 - \frac{1}{2}x \ge -1;$

г) $3 - \frac{1}{2}x \le 4.$

Для построения графика линейной функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$ найдем координаты двух точек, через которые проходит эта прямая.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), подставив $x=0$: $y = 3 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), подставив $y=0$: $0 = 3 - \frac{1}{2}x$, откуда $\frac{1}{2}x = 3$, что дает $x = 6$. Получаем точку $(6, 0)$.
Проведем прямую через точки $(0, 3)$ и $(6, 0)$. Эта прямая и есть график функции. Так как угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ отрицателен, функция является убывающей.

Теперь, используя свойства функции и ее график, решим неравенства.

а) $3 - \frac{1}{2}x \le 0$
Решение этого неравенства соответствует поиску значений $x$, при которых график функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$ находится на оси абсцисс или ниже нее ($y \le 0$). Из графика видно, что точка пересечения с осью OX имеет координату $x=6$. Поскольку функция убывающая, ее значения будут не положительны при $x \ge 6$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \le 0$
$-\frac{1}{2}x \le -3$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge 6$
Ответ: $x \in [6; +\infty)$.

в) $3 - \frac{1}{2}x \ge 0$
Решение этого неравенства соответствует поиску значений $x$, при которых график функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$ находится на оси абсцисс или выше нее ($y \ge 0$). Точка пересечения с осью OX — $(6, 0)$. Так как функция убывающая, ее значения будут не отрицательны при $x \le 6$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \ge 0$
$-\frac{1}{2}x \ge -3$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 6$
Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

б) $3 - \frac{1}{2}x \ge -1$
Необходимо найти значения $x$, при которых значения функции $y$ не меньше -1 ($y \ge -1$). На графике это соответствует той части прямой, которая находится на прямой $y=-1$ или выше нее. Найдем точку пересечения: $3 - \frac{1}{2}x = -1$, откуда $-\frac{1}{2}x = -4$ и $x=8$. Так как функция убывающая, значения $y$ будут больше или равны -1 при $x \le 8$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \ge -1$
$-\frac{1}{2}x \ge -4$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства:
$x \le 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8]$.

г) $3 - \frac{1}{2}x \le 4$
Необходимо найти значения $x$, при которых значения функции $y$ не больше 4 ($y \le 4$). На графике это соответствует той части прямой, которая находится на прямой $y=4$ или ниже нее. Найдем точку пересечения: $3 - \frac{1}{2}x = 4$, откуда $-\frac{1}{2}x = 1$ и $x=-2$. Так как функция убывающая, значения $y$ будут меньше или равны 4 при $x \ge -2$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \le 4$
$-\frac{1}{2}x \le 1$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства:
$x \ge -2$
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.