Номер 9.65, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9.65 Построив график линейной функции $y = 2x + 4$, решите неравенство:

а) $2x + 4 > 0$;

б) $2x + 4 < 4$;

в) $2x + 4 < 0$;

г) $2x + 4 > 2$.

Для решения неравенств сначала необходимо построить график линейной функции $y = 2x + 4$. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Найдем точки пересечения прямой с осями координат:

• При $x = 0$, значение функции $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.
• При $y = 0$, получаем уравнение $0 = 2x + 4$, откуда $2x = -4$ и $x = -2$. Получаем точку пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$.

Построим прямую, проходящую через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$.

Теперь решим неравенства, используя построенный график.

а) $2x + 4 > 0$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть больше нуля ($y > 0$). На графике это соответствует той части прямой, которая расположена выше оси абсцисс (оси Ox). Прямая пересекает ось Ox в точке $x = -2$. Из графика видно, что прямая находится выше оси Ox при всех значениях $x$, которые больше $-2$.

Ответ: $x > -2$ (или в виде интервала $x \in (-2; +\infty)$).

б) $2x + 4 < 4$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть меньше 4 ($y < 4$). На графике это соответствует той части прямой $y=2x+4$, которая расположена ниже горизонтальной прямой $y=4$ (показана зеленым пунктиром). Эти прямые пересекаются в точке, где $x = 0$. График функции $y=2x+4$ находится ниже прямой $y=4$ при всех значениях $x$ левее точки их пересечения.

Ответ: $x < 0$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; 0)$).

в) $2x + 4 < 0$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть меньше нуля ($y < 0$). На графике это соответствует той части прямой, которая расположена ниже оси абсцисс (оси Ox). Прямая пересекает ось Ox в точке $x = -2$. Из графика видно, что прямая находится ниже оси Ox при всех значениях $x$, которые меньше $-2$.

Ответ: $x < -2$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; -2)$).

г) $2x + 4 > 2$

Данное неравенство означает, что значение функции $y = 2x + 4$ должно быть больше 2 ($y > 2$). На графике это соответствует той части прямой $y=2x+4$, которая расположена выше горизонтальной прямой $y=2$ (показана красным пунктиром). Найдем точку их пересечения: $2x + 4 = 2$, что дает $2x = -2$, и $x = -1$. Из графика видно, что прямая $y=2x+4$ находится выше прямой $y=2$ при всех значениях $x$ правее точки их пересечения.

Ответ: $x > -1$ (или в виде интервала $x \in (-1; +\infty)$).