Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

9.66 Построив график линейной функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$, решите неравенство:

a) $3 - \frac{1}{2}x \le 0;$

в) $3 - \frac{1}{2}x \ge 0;$

б) $3 - \frac{1}{2}x \ge -1;$

г) $3 - \frac{1}{2}x \le 4.$

Для построения графика линейной функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$ найдем координаты двух точек, через которые проходит эта прямая.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), подставив $x=0$: $y = 3 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), подставив $y=0$: $0 = 3 - \frac{1}{2}x$, откуда $\frac{1}{2}x = 3$, что дает $x = 6$. Получаем точку $(6, 0)$.
Проведем прямую через точки $(0, 3)$ и $(6, 0)$. Эта прямая и есть график функции. Так как угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ отрицателен, функция является убывающей.

Теперь, используя свойства функции и ее график, решим неравенства.

а) $3 - \frac{1}{2}x \le 0$
Решение этого неравенства соответствует поиску значений $x$, при которых график функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$ находится на оси абсцисс или ниже нее ($y \le 0$). Из графика видно, что точка пересечения с осью OX имеет координату $x=6$. Поскольку функция убывающая, ее значения будут не положительны при $x \ge 6$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \le 0$
$-\frac{1}{2}x \le -3$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge 6$
Ответ: $x \in [6; +\infty)$.

в) $3 - \frac{1}{2}x \ge 0$
Решение этого неравенства соответствует поиску значений $x$, при которых график функции $y = 3 - \frac{1}{2}x$ находится на оси абсцисс или выше нее ($y \ge 0$). Точка пересечения с осью OX — $(6, 0)$. Так как функция убывающая, ее значения будут не отрицательны при $x \le 6$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \ge 0$
$-\frac{1}{2}x \ge -3$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 6$
Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

б) $3 - \frac{1}{2}x \ge -1$
Необходимо найти значения $x$, при которых значения функции $y$ не меньше -1 ($y \ge -1$). На графике это соответствует той части прямой, которая находится на прямой $y=-1$ или выше нее. Найдем точку пересечения: $3 - \frac{1}{2}x = -1$, откуда $-\frac{1}{2}x = -4$ и $x=8$. Так как функция убывающая, значения $y$ будут больше или равны -1 при $x \le 8$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \ge -1$
$-\frac{1}{2}x \ge -4$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства:
$x \le 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8]$.

г) $3 - \frac{1}{2}x \le 4$
Необходимо найти значения $x$, при которых значения функции $y$ не больше 4 ($y \le 4$). На графике это соответствует той части прямой, которая находится на прямой $y=4$ или ниже нее. Найдем точку пересечения: $3 - \frac{1}{2}x = 4$, откуда $-\frac{1}{2}x = 1$ и $x=-2$. Так как функция убывающая, значения $y$ будут меньше или равны 4 при $x \ge -2$.
Решим неравенство алгебраически:
$3 - \frac{1}{2}x \le 4$
$-\frac{1}{2}x \le 1$
Умножим обе части на -2, изменив знак неравенства:
$x \ge -2$
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

Постройте график линейной функции:

10.1

а) $y = 2x$;

б) $y = -3x$;

в) $y = -6x$;

г) $y = x$.

Для построения графика линейной функции вида $y=kx$ необходимо выполнить следующие шаги. Во-первых, все графики такого вида являются прямыми линиями, проходящими через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Во-вторых, для построения прямой достаточно знать две точки. Одну мы уже знаем. Вторую точку можно найти, выбрав любое удобное значение для $x$ (кроме 0) и вычислив соответствующее значение $y$.

а) $y=2x$

Это линейная функция вида $y=kx$ с коэффициентом $k=2$. График — прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Для нахождения второй точки возьмем $x=1$. Подставим это значение в уравнение функции:

$y = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, мы получили вторую точку с координатами $(1, 2)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$ и провести через них прямую.

Ответ: График функции $y=2x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, 2)$.

б) $y=-3x$

Это линейная функция вида $y=kx$ с коэффициентом $k=-3$. Ее график — прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Найдем вторую точку для построения. Возьмем $x=1$:

$y = -3 \cdot 1 = -3$

Получили вторую точку с координатами $(1, -3)$.

Проведем прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$. Так как угловой коэффициент $k=-3$ отрицательный, график расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=-3x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, -3)$.

в) $y=-6x$

Функция $y=-6x$ является линейной с коэффициентом $k=-6$. Ее график — прямая, которая проходит через точку $(0, 0)$.

Для нахождения второй точки подставим в уравнение значение $x=1$:

$y = -6 \cdot 1 = -6$

Таким образом, вторая точка для построения графика имеет координаты $(1, -6)$.

Соединив точки $(0, 0)$ и $(1, -6)$ прямой линией, мы получим график функции $y=-6x$.

Ответ: График функции $y=-6x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, -6)$.

г) $y=x$

Это частный случай линейной функции $y=kx$, где коэффициент $k=1$. График этой функции — прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Найдем координаты еще одной точки. Пусть $x=1$:

$y = 1$

Вторая точка — $(1, 1)$.

Проведем прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: График функции $y=x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, 1)$, и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Постройте график линейной функции:

10.2 a) $s = 0.5t$;

б) $s = \frac{3}{7}t$;

в) $s = -1.2t$;

г) $s = -\frac{t}{2}$.

а)

Функция $s = 0,5t$ является линейной функцией вида $y = kx$, где $k = 0,5$. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки.

Найдем две точки:

• При $t = 0$, $s = 0,5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $t = 2$, $s = 0,5 \cdot 2 = 1$. Точка $(2; 1)$.

Соединив точки $(0; 0)$ и $(2; 1)$ на координатной плоскости (где ось абсцисс — $t$, а ось ординат — $s$), получим график функции. Так как коэффициент $k=0,5 > 0$, функция возрастающая, и ее график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $s = 0,5t$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; 1)$.

б)

Функция $s = \frac{3}{7}t$ является линейной функцией вида $y = kx$, где $k = \frac{3}{7}$. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат. Для построения прямой найдем еще одну точку.

Найдем две точки:

• При $t = 0$, $s = \frac{3}{7} \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• Чтобы получить целочисленное значение $s$, выберем $t$, кратное 7. Пусть $t = 7$. Тогда $s = \frac{3}{7} \cdot 7 = 3$. Точка $(7; 3)$.

Соединив точки $(0; 0)$ и $(7; 3)$ на координатной плоскости, получим график функции. Так как коэффициент $k=\frac{3}{7} > 0$, функция возрастающая, и ее график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $s = \frac{3}{7}t$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(7; 3)$.

в)

Функция $s = -1,2t$ является линейной функцией вида $y = kx$, где $k = -1,2$. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат. Для построения прямой найдем еще одну точку.

Найдем две точки:

• При $t = 0$, $s = -1,2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $t = 5$, $s = -1,2 \cdot 5 = -6$. Точка $(5; -6)$.

Соединив точки $(0; 0)$ и $(5; -6)$ на координатной плоскости, получим график функции. Так как коэффициент $k=-1,2 < 0$, функция убывающая, и ее график расположен в II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции $s = -1,2t$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(5; -6)$.

г)

Функцию $s = -\frac{t}{2}$ можно записать как $s = -0,5t$. Это линейная функция вида $y = kx$, где $k = -0,5$. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат. Для построения прямой найдем еще одну точку.

Найдем две точки:

• При $t = 0$, $s = -0,5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $t = 2$, $s = -0,5 \cdot 2 = -1$. Точка $(2; -1)$.

Соединив точки $(0; 0)$ и $(2; -1)$ на координатной плоскости, получим график функции. Так как коэффициент $k=-0,5 < 0$, функция убывающая, и ее график расположен в II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции $s = -\frac{t}{2}$ — это прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; -1)$.

10.3 Зависимость между переменными $y$ и $x$ выражена формулой $y = kx$. Определите значение коэффициента $k$ и выясните, возрастает или убывает линейная функция $y = kx$, если:

а) $y = 12$ при $x = 3$;

б) $y = -25$ при $x = 5$;

в) $y = 45$ при $x = -9$;

г) $y = -99$ при $x = -11$.

Для определения значения коэффициента $k$ в линейной функции $y = kx$ необходимо подставить в формулу заданные значения переменных $x$ и $y$ и решить полученное уравнение относительно $k$.

Линейная функция $y = kx$ является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$). Если же коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), то функция является убывающей.

а)

Подставляем значения $y = 12$ и $x = 3$ в формулу $y = kx$:

$12 = k \cdot 3$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 3:

$k = \frac{12}{3} = 4$

Поскольку коэффициент $k = 4$, а это больше нуля ($k > 0$), то функция является возрастающей.

Ответ: $k = 4$, функция возрастает.

б)

Подставляем значения $y = -25$ и $x = 5$ в формулу $y = kx$:

$-25 = k \cdot 5$

Находим $k$:

$k = \frac{-25}{5} = -5$

Поскольку коэффициент $k = -5$, а это меньше нуля ($k < 0$), то функция является убывающей.

Ответ: $k = -5$, функция убывает.

в)

Подставляем значения $y = 45$ и $x = -9$ в формулу $y = kx$:

$45 = k \cdot (-9)$

Находим $k$:

$k = \frac{45}{-9} = -5$

Поскольку коэффициент $k = -5$, а это меньше нуля ($k < 0$), то функция является убывающей.

Ответ: $k = -5$, функция убывает.

г)

Подставляем значения $y = -99$ и $x = -11$ в формулу $y = kx$:

$-99 = k \cdot (-11)$

Находим $k$:

$k = \frac{-99}{-11} = 9$

Поскольку коэффициент $k = 9$, а это больше нуля ($k > 0$), то функция является возрастающей.

Ответ: $k = 9$, функция возрастает.

10.4 Постройте график линейной функции $y = kx$, если известно, что

ему принадлежит точка:

а) M(12; 48);

б) M(-16; 32);

в) M(3; -18);

г) M(-14; -21).

a) Линейная функция имеет вид $y = kx$. Поскольку ее график проходит через точку M(12; 48), ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 12$ и $y = 48$ в это уравнение: $48 = k \cdot 12$. Чтобы найти коэффициент $k$, решим полученное уравнение: $k = \frac{48}{12} = 4$. Таким образом, искомая функция имеет вид $y = 4x$. График этой функции — это прямая, которая проходит через начало координат, точку O(0; 0), и данную точку M(12; 48). Для построения графика на координатной плоскости достаточно отметить эти две точки и провести через них прямую.
Ответ: $y = 4x$.

б) Дана точка M(−16; 32), принадлежащая графику функции $y = kx$. Подставим ее координаты $x = -16$ и $y = 32$ в уравнение: $32 = k \cdot (-16)$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{32}{-16} = -2$. Следовательно, уравнение функции: $y = -2x$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат O(0; 0) и точку M(−16; 32). Для построения нужно отметить эти две точки и соединить их прямой линией.
Ответ: $y = -2x$.

в) Дана точка M(3; −18). Подставим ее координаты $x = 3$ и $y = -18$ в уравнение $y = kx$: $-18 = k \cdot 3$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{-18}{3} = -6$. Уравнение функции имеет вид $y = -6x$. График этой функции — прямая, проходящая через начало координат O(0; 0) и точку M(3; −18). Для построения графика отмечаем эти две точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.
Ответ: $y = -6x$.

г) Дана точка M(−14; −21). Подставим ее координаты $x = -14$ и $y = -21$ в уравнение $y = kx$: $-21 = k \cdot (-14)$. Найдем коэффициент $k$: $k = \frac{-21}{-14} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} = 1.5$. Уравнение функции: $y = 1.5x$. Для построения графика проведем прямую через начало координат O(0; 0) и точку M(−14; −21). Для удобства построения можно также использовать другую точку, например, при $x=2$ имеем $y=1.5 \cdot 2=3$, т.е. точку A(2; 3).
Ответ: $y = 1.5x$.

10.5 Прямая $AB$ проходит через начало координат и точку $B(-21; 84)$.

Графиком какой из указанных линейных функций является прямая $AB$ (выберите правильный ответ из четырёх представленных):

1) $y = -21x + 84$;

2) $y = -4x + 4$;

3) $y = -4x$;

4) $y = 4x$?

Чтобы найти уравнение прямой AB, мы должны проверить, какая из предложенных функций удовлетворяет двум условиям: её график проходит через начало координат, точку O(0; 0), и через точку B(−21; 84).

1) $y = -21x + 84$
Проверим, проходит ли график через начало координат, подставив $x=0$ и $y=0$:
$0 = -21 \cdot 0 + 84$
$0 = 84$
Равенство неверное. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $y = -4x + 4$
Проверим, проходит ли график через начало координат, подставив $x=0$ и $y=0$:
$0 = -4 \cdot 0 + 4$
$0 = 4$
Равенство неверное. Этот вариант также не подходит.

3) $y = -4x$
Проверим прохождение через начало координат O(0; 0):
$0 = -4 \cdot 0$
$0 = 0$
Равенство верное, значит, прямая проходит через начало координат.
Теперь проверим прохождение через точку B(−21; 84), подставив $x=-21$ и $y=84$:
$84 = -4 \cdot (-21)$
$84 = 84$
Равенство верное, значит, прямая проходит и через точку B. Этот вариант является правильным.

4) $y = 4x$
Проверим прохождение через начало координат O(0; 0):
$0 = 4 \cdot 0$
$0 = 0$
Равенство верное, прямая проходит через начало координат.
Теперь проверим прохождение через точку B(−21; 84), подставив $x=-21$ и $y=84$:
$84 = 4 \cdot (-21)$
$84 = -84$
Равенство неверное. Этот вариант не подходит.

Таким образом, единственная функция, график которой проходит через обе заданные точки, — это $y = -4x$.
Ответ: 3) $y = -4x$.