Страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

11.1 а) $y = 2x$ и $y = 2x - 4;$

б) $y = x + 3$ и $y = 2x - 1;$

в) $y = 4x + 6$ и $y = 4x + 6;$

г) $y = 12x - 4$ и $y = -x + 1.$

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты ($k$) и коэффициенты сдвига по оси OY ($b$).

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а коэффициенты сдвига различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.
• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются в одной точке.
• Если и угловые коэффициенты, и коэффициенты сдвига равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.

а) $y = 2x$ и $y = 2x - 4$

Рассмотрим первую функцию $y = 2x$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 2$, а коэффициент сдвига $b_1 = 0$.

Рассмотрим вторую функцию $y = 2x - 4$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = 2$, а коэффициент сдвига $b_2 = -4$.

Сравниваем коэффициенты: $k_1 = k_2 = 2$ и $b_1 \neq b_2$ (так как $0 \neq -4$).

Поскольку угловые коэффициенты равны, а коэффициенты сдвига различны, графики этих функций параллельны.

Ответ: графики параллельны.

б) $y = x + 3$ и $y = 2x - 1$

Рассмотрим первую функцию $y = x + 3$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 1$, а коэффициент сдвига $b_1 = 3$.

Рассмотрим вторую функцию $y = 2x - 1$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = 2$, а коэффициент сдвига $b_2 = -1$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 \neq k_2$ (так как $1 \neq 2$).

Поскольку угловые коэффициенты различны, графики этих функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

в) $y = 4x + 6$ и $y = 4x + 6$

Рассмотрим первую функцию $y = 4x + 6$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 4$, а коэффициент сдвига $b_1 = 6$.

Рассмотрим вторую функцию $y = 4x + 6$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = 4$, а коэффициент сдвига $b_2 = 6$.

Сравниваем коэффициенты: $k_1 = k_2 = 4$ и $b_1 = b_2 = 6$.

Поскольку и угловые коэффициенты, и коэффициенты сдвига равны, графики этих функций совпадают.

Ответ: графики совпадают.

г) $y = 12x - 4$ и $y = -x + 1$

Рассмотрим первую функцию $y = 12x - 4$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 12$, а коэффициент сдвига $b_1 = -4$.

Рассмотрим вторую функцию $y = -x + 1$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = -1$, а коэффициент сдвига $b_2 = 1$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 \neq k_2$ (так как $12 \neq -1$).

Поскольку угловые коэффициенты различны, графики этих функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

11.2

а) $y = 0.5x + 8$ и $y = \frac{1}{2}x + 8$;

в) $y = 5x + 8$ и $y = \frac{10}{2}x - 2$;

б) $y = \frac{3}{10}x - 2$ и $y = 7x - 4$;

г) $y = 105x - 11$ и $y = \frac{3}{8}x + 15$.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$, не выполняя построения, необходимо сравнить их угловые коэффициенты ($k$) и свободные члены ($b$).

Существуют три варианта взаимного расположения прямых, которые являются графиками линейных функций:

• Пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$).
• Параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$).
• Совпадают, если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$).

Даны функции $y = 0,5x + 8$ и $y = \frac{1}{2}x + 8$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = 0,5x + 8$: угловой коэффициент $k_1 = 0,5$ и свободный член $b_1 = 8$.

Найдем коэффициенты для второй функции $y_2 = \frac{1}{2}x + 8$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$. Переведем его в десятичную дробь: $k_2 = 0,5$. Свободный член $b_2 = 8$.

Сравним коэффициенты: $k_1 = 0,5$ и $k_2 = 0,5$, следовательно $k_1 = k_2$. Свободные члены: $b_1 = 8$ и $b_2 = 8$, следовательно $b_1 = b_2$.

Поскольку угловые коэффициенты и свободные члены обеих функций равны, их графики совпадают.

Ответ: графики совпадают.

Даны функции $y = \frac{3}{10}x - 2$ и $y = 7x - 4$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = \frac{3}{10}x - 2$: угловой коэффициент $k_1 = \frac{3}{10} = 0,3$ и свободный член $b_1 = -2$.

Найдем коэффициенты для второй функции $y_2 = 7x - 4$: угловой коэффициент $k_2 = 7$ и свободный член $b_2 = -4$.

Сравним угловые коэффициенты: $k_1 = 0,3$ и $k_2 = 7$. Так как $0,3 \neq 7$, то $k_1 \neq k_2$.

Поскольку угловые коэффициенты функций не равны, их графики пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

Даны функции $y = 5x + 8$ и $y = \frac{10}{2}x - 2$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = 5x + 8$: угловой коэффициент $k_1 = 5$ и свободный член $b_1 = 8$.

Упростим вторую функцию: $y_2 = \frac{10}{2}x - 2 = 5x - 2$.

Найдем коэффициенты для упрощенной второй функции $y_2 = 5x - 2$: угловой коэффициент $k_2 = 5$ и свободный член $b_2 = -2$.

Сравним коэффициенты: $k_1 = 5$ и $k_2 = 5$, следовательно $k_1 = k_2$. Свободные члены: $b_1 = 8$ и $b_2 = -2$, следовательно $b_1 \neq b_2$.

Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, графики функций параллельны.

Ответ: графики параллельны.

Даны функции $y = 105x - 11$ и $y = \frac{3}{8}x + 15$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = 105x - 11$: угловой коэффициент $k_1 = 105$ и свободный член $b_1 = -11$.

Найдем коэффициенты для второй функции $y_2 = \frac{3}{8}x + 15$: угловой коэффициент $k_2 = \frac{3}{8}$ и свободный член $b_2 = 15$.

Сравним угловые коэффициенты: $k_1 = 105$ и $k_2 = \frac{3}{8}$. Так как $105 \neq \frac{3}{8}$, то $k_1 \neq k_2$.

Поскольку угловые коэффициенты функций не равны, их графики пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

11.3 Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

а) $y = \frac{14}{2}x - 5$ и $y = 7x + 3;$

б) $y = 6x + \frac{1}{3}$ и $y = 7 + 6x;$

в) $y = \frac{12}{16}x + \frac{8}{10}$ и $y = \frac{15}{20}x + \frac{4}{5};$

г) $y = \frac{8}{9}x - \frac{1}{7}$ и $y = \frac{8}{9}x + \frac{1}{10}.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ (коэффициент при $x$) и свободные члены $b$ (константа).

• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются в одной точке.
• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики параллельны.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

а) $y = \frac{14}{2}x - 5$ и $y = 7x + 3$.

Сначала упростим уравнение первой функции: $y = \frac{14}{2}x - 5 = 7x - 5$.
Теперь сравним две функции: $y_1 = 7x - 5$ и $y_2 = 7x + 3$.
Угловые коэффициенты обеих функций равны: $k_1 = 7$ и $k_2 = 7$.
Свободные члены различны: $b_1 = -5$ и $b_2 = 3$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.

б) $y = 6x + \frac{1}{3}$ и $y = 7 + 6x$.

Приведем вторую функцию к стандартному виду $y = kx + b$: $y = 6x + 7$.
Теперь сравним две функции: $y_1 = 6x + \frac{1}{3}$ и $y_2 = 6x + 7$.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = 6$ и $k_2 = 6$.
Свободные члены различны: $b_1 = \frac{1}{3}$ и $b_2 = 7$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.

в) $y = \frac{12}{16}x + \frac{8}{10}$ и $y = \frac{15}{20}x + \frac{4}{5}$.

Упростим коэффициенты в уравнениях обеих функций.
Первая функция: $y = \frac{12}{16}x + \frac{8}{10} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4}x + \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{3}{4}x + \frac{4}{5}$.
Вторая функция: $y = \frac{15}{20}x + \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5}x + \frac{4}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{4}{5}$.
Обе функции приводятся к одному и тому же виду: $y = \frac{3}{4}x + \frac{4}{5}$.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = \frac{3}{4}$ и $k_2 = \frac{3}{4}$.
Свободные члены также равны: $b_1 = \frac{4}{5}$ и $b_2 = \frac{4}{5}$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, графики функций совпадают.
Ответ: графики функций совпадают.

г) $y = \frac{8}{9}x - \frac{1}{7}$ и $y = \frac{8}{9}x + \frac{1}{10}$.

Сравним коэффициенты данных функций: $y_1 = \frac{8}{9}x - \frac{1}{7}$ и $y_2 = \frac{8}{9}x + \frac{1}{10}$.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = \frac{8}{9}$ и $k_2 = \frac{8}{9}$.
Свободные члены различны: $b_1 = -\frac{1}{7}$ и $b_2 = \frac{1}{10}$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.