Номер 11.2, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

11.2

а) $y = 0.5x + 8$ и $y = \frac{1}{2}x + 8$;

в) $y = 5x + 8$ и $y = \frac{10}{2}x - 2$;

б) $y = \frac{3}{10}x - 2$ и $y = 7x - 4$;

г) $y = 105x - 11$ и $y = \frac{3}{8}x + 15$.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$, не выполняя построения, необходимо сравнить их угловые коэффициенты ($k$) и свободные члены ($b$).

Существуют три варианта взаимного расположения прямых, которые являются графиками линейных функций:

• Пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$).
• Параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$).
• Совпадают, если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$).

Даны функции $y = 0,5x + 8$ и $y = \frac{1}{2}x + 8$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = 0,5x + 8$: угловой коэффициент $k_1 = 0,5$ и свободный член $b_1 = 8$.

Найдем коэффициенты для второй функции $y_2 = \frac{1}{2}x + 8$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$. Переведем его в десятичную дробь: $k_2 = 0,5$. Свободный член $b_2 = 8$.

Сравним коэффициенты: $k_1 = 0,5$ и $k_2 = 0,5$, следовательно $k_1 = k_2$. Свободные члены: $b_1 = 8$ и $b_2 = 8$, следовательно $b_1 = b_2$.

Поскольку угловые коэффициенты и свободные члены обеих функций равны, их графики совпадают.

Ответ: графики совпадают.

Даны функции $y = \frac{3}{10}x - 2$ и $y = 7x - 4$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = \frac{3}{10}x - 2$: угловой коэффициент $k_1 = \frac{3}{10} = 0,3$ и свободный член $b_1 = -2$.

Найдем коэффициенты для второй функции $y_2 = 7x - 4$: угловой коэффициент $k_2 = 7$ и свободный член $b_2 = -4$.

Сравним угловые коэффициенты: $k_1 = 0,3$ и $k_2 = 7$. Так как $0,3 \neq 7$, то $k_1 \neq k_2$.

Поскольку угловые коэффициенты функций не равны, их графики пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.

Даны функции $y = 5x + 8$ и $y = \frac{10}{2}x - 2$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = 5x + 8$: угловой коэффициент $k_1 = 5$ и свободный член $b_1 = 8$.

Упростим вторую функцию: $y_2 = \frac{10}{2}x - 2 = 5x - 2$.

Найдем коэффициенты для упрощенной второй функции $y_2 = 5x - 2$: угловой коэффициент $k_2 = 5$ и свободный член $b_2 = -2$.

Сравним коэффициенты: $k_1 = 5$ и $k_2 = 5$, следовательно $k_1 = k_2$. Свободные члены: $b_1 = 8$ и $b_2 = -2$, следовательно $b_1 \neq b_2$.

Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, графики функций параллельны.

Ответ: графики параллельны.

Даны функции $y = 105x - 11$ и $y = \frac{3}{8}x + 15$.

Найдем коэффициенты для первой функции $y_1 = 105x - 11$: угловой коэффициент $k_1 = 105$ и свободный член $b_1 = -11$.

Найдем коэффициенты для второй функции $y_2 = \frac{3}{8}x + 15$: угловой коэффициент $k_2 = \frac{3}{8}$ и свободный член $b_2 = 15$.

Сравним угловые коэффициенты: $k_1 = 105$ и $k_2 = \frac{3}{8}$. Так как $105 \neq \frac{3}{8}$, то $k_1 \neq k_2$.

Поскольку угловые коэффициенты функций не равны, их графики пересекаются.

Ответ: графики пересекаются.