Номер 11.3, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

11.3 Не выполняя построения, установите взаимное расположение графиков линейных функций:

а) $y = \frac{14}{2}x - 5$ и $y = 7x + 3;$

б) $y = 6x + \frac{1}{3}$ и $y = 7 + 6x;$

в) $y = \frac{12}{16}x + \frac{8}{10}$ и $y = \frac{15}{20}x + \frac{4}{5};$

г) $y = \frac{8}{9}x - \frac{1}{7}$ и $y = \frac{8}{9}x + \frac{1}{10}.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ (коэффициент при $x$) и свободные члены $b$ (константа).

• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются в одной точке.
• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики параллельны.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

а) $y = \frac{14}{2}x - 5$ и $y = 7x + 3$.

Сначала упростим уравнение первой функции: $y = \frac{14}{2}x - 5 = 7x - 5$.
Теперь сравним две функции: $y_1 = 7x - 5$ и $y_2 = 7x + 3$.
Угловые коэффициенты обеих функций равны: $k_1 = 7$ и $k_2 = 7$.
Свободные члены различны: $b_1 = -5$ и $b_2 = 3$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.

б) $y = 6x + \frac{1}{3}$ и $y = 7 + 6x$.

Приведем вторую функцию к стандартному виду $y = kx + b$: $y = 6x + 7$.
Теперь сравним две функции: $y_1 = 6x + \frac{1}{3}$ и $y_2 = 6x + 7$.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = 6$ и $k_2 = 6$.
Свободные члены различны: $b_1 = \frac{1}{3}$ и $b_2 = 7$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.

в) $y = \frac{12}{16}x + \frac{8}{10}$ и $y = \frac{15}{20}x + \frac{4}{5}$.

Упростим коэффициенты в уравнениях обеих функций.
Первая функция: $y = \frac{12}{16}x + \frac{8}{10} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4}x + \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{3}{4}x + \frac{4}{5}$.
Вторая функция: $y = \frac{15}{20}x + \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5}x + \frac{4}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{4}{5}$.
Обе функции приводятся к одному и тому же виду: $y = \frac{3}{4}x + \frac{4}{5}$.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = \frac{3}{4}$ и $k_2 = \frac{3}{4}$.
Свободные члены также равны: $b_1 = \frac{4}{5}$ и $b_2 = \frac{4}{5}$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$, графики функций совпадают.
Ответ: графики функций совпадают.

г) $y = \frac{8}{9}x - \frac{1}{7}$ и $y = \frac{8}{9}x + \frac{1}{10}$.

Сравним коэффициенты данных функций: $y_1 = \frac{8}{9}x - \frac{1}{7}$ и $y_2 = \frac{8}{9}x + \frac{1}{10}$.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = \frac{8}{9}$ и $k_2 = \frac{8}{9}$.
Свободные члены различны: $b_1 = -\frac{1}{7}$ и $b_2 = \frac{1}{10}$.
Так как $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, графики функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.