Номер 11.10, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Найдите координаты точки пересечения заданных прямых; если это невозможно, объясните почему:

11.10 а) $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$;

б) $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8;

в) $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4;

г) $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9.

а) Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, которую они составляют. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$:
$2x + 3 = 3x + 2$
Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$3 - 2 = 3x - 2x$
$x = 1$
Зная координату $x$, найдем координату $y$, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$
Таким образом, прямые пересекаются в одной точке.
Ответ: Координаты точки пересечения $(1, 5)$.

б) Рассмотрим уравнения прямых $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$.
Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон), а $b$ — точка пересечения с осью $y$.
У обеих прямых угловые коэффициенты одинаковы: $k_1 = k_2 = -15$. Это означает, что прямые параллельны.
При этом их точки пересечения с осью $y$ различны: $b_1 = -14$ и $b_2 = 8$.
Поскольку прямые параллельны и не совпадают, они не имеют общих точек.
Если попытаться найти точку пересечения, приравняв правые части, мы получим:
$-15x - 14 = -15x + 8$
$-14 = 8$
Это равенство является ложным, что доказывает отсутствие решений.
Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны и не пересекаются.

в) Чтобы найти точку пересечения прямых $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$, приравняем их правые части:
$7x + 4 = -x + 4$
Решим уравнение относительно $x$:
$7x + x = 4 - 4$
$8x = 0$
$x = 0$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=0$ в любое из уравнений. Возьмем второе:
$y = -(0) + 4 = 4$
Следовательно, прямые пересекаются.
Ответ: Координаты точки пересечения $(0, 4)$.

г) Рассмотрим уравнения прямых $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$.
Как и в пункте б), данные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты $k_1 = k_2 = 7$, что говорит об их параллельности.
Точки пересечения с осью $y$ у них разные: $b_1 = 6$ и $b_2 = 9$. Значит, прямые не совпадают.
Параллельные и несовпадающие прямые не имеют точек пересечения.
Попытка решить систему уравнений приводит к неверному равенству:
$7x + 6 = 7x + 9$
$6 = 9$
Это ложное утверждение, подтверждающее, что решений нет.
Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.