Номер 11.13, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

11.13 Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $y = x + 5$ и $y = 1,5x + 4;

б) $y = 75x - 1$ и $y = 78x;

в) $y = -2x + 8$ и $y = x - 7;

г) $y = -49x$ и $y = -42x + 3.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, не выполняя построения их графиков, нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ у обеих функций совпадают. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений и найти $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем $y$.

а) Даны уравнения прямых: $y = x + 5$ и $y = 1,5x + 4$.

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ равны:

$x + 5 = 1,5x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$5 - 4 = 1,5x - x$

$1 = 0,5x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{0,5} = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 2 + 5 = 7$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(2; 7)$.

Ответ: $(2; 7)$.

б) Даны уравнения прямых: $y = 75x - 1$ и $y = 78x$.

Приравняем правые части уравнений:

$75x - 1 = 78x$

Решим уравнение относительно $x$:

$-1 = 78x - 75x$

$-1 = 3x$

$x = -\frac{1}{3}$

Подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ во второе уравнение:

$y = 78 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{78}{3} = -26$

Координаты точки пересечения — $(-\frac{1}{3}; -26)$.

Ответ: $(-\frac{1}{3}; -26)$.

в) Даны уравнения прямых: $y = -2x + 8$ и $y = x - 7$.

Приравняем правые части уравнений:

$-2x + 8 = x - 7$

Сгруппируем члены:

$8 + 7 = x + 2x$

$15 = 3x$

$x = \frac{15}{3} = 5$

Подставим $x = 5$ во второе уравнение:

$y = 5 - 7 = -2$

Координаты точки пересечения — $(5; -2)$.

Ответ: $(5; -2)$.

г) Даны уравнения прямых: $y = -49x$ и $y = -42x + 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$-49x = -42x + 3$

Решим уравнение относительно $x$:

$-49x + 42x = 3$

$-7x = 3$

$x = -\frac{3}{7}$

Подставим $x = -\frac{3}{7}$ в первое уравнение:

$y = -49 \cdot (-\frac{3}{7}) = 49 \cdot \frac{3}{7} = 7 \cdot 3 = 21$

Координаты точки пересечения — $(-\frac{3}{7}; 21)$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}; 21)$.