Номер 11.11, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Найдите координаты точки пересечения заданных прямых; если это невозможно, объясните почему:

11.10

а) $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$;

б) $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$;

в) $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$;

г) $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$.

11.11

а) $y = 15x + 17$ и $y = 15x + 17$;

б) $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 1$;

в) $y = 13x - 8$ и $y = 13x - 8$;

г) $y = -5x + 3$ и $y = x - 3$.

11.10

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$, необходимо решить систему этих уравнений. Поскольку в обоих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$2x + 3 = 3x + 2$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$3 - 2 = 3x - 2x$

$x = 1$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, 5)$.

Ответ: $(1, 5)$.

б) Рассматриваем прямые $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$. Уравнение прямой в общем виде — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. У обеих данных прямых угловые коэффициенты одинаковы и равны $-15$. Однако их свободные члены (значения $b$) различны: $-14 \neq 8$.

Прямые, имеющие одинаковые угловые коэффициенты, но разные свободные члены, являются параллельными. Параллельные прямые не пересекаются, поэтому у них нет общих точек.

Если мы попытаемся приравнять правые части уравнений, то получим:

$-15x - 14 = -15x + 8$

$-14 = 8$

Это равенство неверно, что и доказывает отсутствие решений.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

в) Найдем точку пересечения прямых $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$. Приравняем правые части уравнений:

$7x + 4 = -x + 4$

Решим уравнение относительно $x$:

$7x + x = 4 - 4$

$8x = 0$

$x = 0$

Теперь подставим $x=0$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$y = -(0) + 4 = 4$

Координаты точки пересечения: $(0, 4)$.

Ответ: $(0, 4)$.

г) Даны прямые $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$. Угловые коэффициенты этих прямых одинаковы ($k=7$), а свободные члены различны ($6 \neq 9$). Это означает, что прямые параллельны и не имеют точек пересечения.

Попытка найти решение приводит к неверному равенству:

$7x + 6 = 7x + 9$

$6 = 9$

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

11.11

а) Даны два уравнения $y = 15x + 17$ и $y = 15x + 17$. Эти уравнения полностью идентичны, они описывают одну и ту же прямую. Такие прямые называются совпадающими.

У совпадающих прямых бесконечное множество общих точек, так как любая точка одной прямой принадлежит и другой. Поэтому найти одну-единственную точку пересечения невозможно.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые совпадают.

б) Найдем точку пересечения прямых $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 1$. Приравняем правые части:

$-3x + 4 = 2x - 1$

Решим уравнение:

$4 + 1 = 2x + 3x$

$5 = 5x$

$x = 1$

Найдем $y$, подставив $x=1$ в одно из уравнений:

$y = 2(1) - 1 = 1$

Координаты точки пересечения: $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

в) Даны уравнения $y = 13x - 8$ и $y = 13x - 8$. Так как уравнения одинаковые, они описывают одну и ту же прямую. Прямые совпадают и имеют бесконечное множество общих точек.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые совпадают.

г) Найдем точку пересечения прямых $y = -5x + 3$ и $y = x - 3$. Приравняем правые части:

$-5x + 3 = x - 3$

Решим уравнение:

$3 + 3 = x + 5x$

$6 = 6x$

$x = 1$

Найдем $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:

$y = 1 - 3 = -2$

Координаты точки пересечения: $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.