Номер 11.20, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

11.20 Даны две линейные функции $y = k_1x + m_1$, $y = k_2x + m_2$. Подберите такие коэффициенты $k_1, k_2, m_1, m_2$, чтобы графики линейных функций пересекались, причём обе функции были:

а) возрастающими;

б) убывающими.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить ключевые свойства линейной функции вида $y = kx + m$.

1. Возрастание и убывание функции: Поведение функции определяется знаком углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей (с увеличением $x$ увеличивается и $y$).
• Если коэффициент $k < 0$, функция является убывающей (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается).

2. Пересечение графиков: Графики двух линейных функций $y = k_1x + m_1$ и $y = k_2x + m_2$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны, то есть $k_1 \neq k_2$. Если $k_1 = k_2$, то прямые параллельны (если $m_1 \neq m_2$) или совпадают (если $m_1 = m_2$), и в обоих этих случаях они не пересекаются в единственной точке.

Коэффициенты $m_1$ и $m_2$ (свободные члены) определяют точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$) и не влияют на возрастание/убывание функции или на условие пересечения графиков (при $k_1 \neq k_2$). Поэтому значения $m_1$ и $m_2$ можно выбирать произвольно.

а) возрастающими

Чтобы обе функции были возрастающими, их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ должны быть положительными: $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$.

Чтобы их графики пересекались, угловые коэффициенты должны быть различны: $k_1 \neq k_2$.

Таким образом, нам нужно подобрать два разных положительных числа для $k_1$ и $k_2$, а $m_1$ и $m_2$ могут быть любыми.

Например, выберем:

$k_1 = 2$
$k_2 = 4$
$m_1 = 1$
$m_2 = -3$

Получаем функции $y = 2x + 1$ и $y = 4x - 3$. Здесь $k_1 = 2 > 0$ и $k_2 = 4 > 0$, значит, обе функции возрастающие. Так как $k_1 \neq k_2$ ($2 \neq 4$), их графики пересекаются.

Ответ: Например, для функции $y = k_1x + m_1$ коэффициенты $k_1 = 2$, $m_1 = 1$; для функции $y = k_2x + m_2$ коэффициенты $k_2 = 4$, $m_2 = -3$.

б) убывающими

Чтобы обе функции были убывающими, их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ должны быть отрицательными: $k_1 < 0$ и $k_2 < 0$.

Чтобы их графики пересекались, угловые коэффициенты должны быть различны: $k_1 \neq k_2$.

Таким образом, нам нужно подобрать два разных отрицательных числа для $k_1$ и $k_2$, а $m_1$ и $m_2$ могут быть любыми.

Например, выберем:

$k_1 = -1$
$k_2 = -3$
$m_1 = 5$
$m_2 = 2$

Получаем функции $y = -x + 5$ и $y = -3x + 2$. Здесь $k_1 = -1 < 0$ и $k_2 = -3 < 0$, значит, обе функции убывающие. Так как $k_1 \neq k_2$ ($-1 \neq -3$), их графики пересекаются.

Ответ: Например, для функции $y = k_1x + m_1$ коэффициенты $k_1 = -1$, $m_1 = 5$; для функции $y = k_2x + m_2$ коэффициенты $k_2 = -3$, $m_2 = 2$.