Номер 11.23, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

11.23 Графики линейных функций $y = kx + m$ и $y = ax + b$ пересекаются в точке, лежащей внутри второго координатного угла координатной плоскости $xOy$. Определите знаки коэффициентов $k, m, a, b$, если известно, что прямая $y = kx + m$ не проходит через третий координатный угол, а прямая $y = ax + b$ проходит через первый координатный угол и не параллельна оси абсцисс.

Для решения задачи проанализируем условия, наложенные на каждую из функций, и на их точку пересечения.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка пересечения графиков функций $y = kx + m$ и $y = ax + b$. По условию, эта точка лежит внутри второго координатного угла, что означает, что её координаты удовлетворяют неравенствам $x_0 < 0$ и $y_0 > 0$.

Анализ прямой $y = kx + m$

1. График не проходит через третий координатный угол. Третий координатный угол — это область, где $x < 0$ и $y < 0$. Условие означает, что на прямой нет точек, у которых обе координаты отрицательны. Иными словами, для всех $x < 0$ должно выполняться $y \ge 0$.

2. График проходит через точку $(x_0, y_0)$ во втором квадранте.

Рассмотрим коэффициент $m$, который является ординатой точки пересечения графика с осью $Oy$, то есть $y(0) = m$. Прямая соединяет точку $(x_0, y_0)$ из второго квадранта с точкой $(0, m)$. Поскольку $x_0 < 0$, и на всём этом отрезке прямой ордината должна быть неотрицательной, то и в точке $x=0$ она должна быть неотрицательной. Следовательно, $m \ge 0$.

Рассмотрим угловой коэффициент $k$. Если предположить, что $k > 0$ (функция возрастающая), то при $m \ge 0$ точка пересечения с осью абсцисс будет $x = -m/k \le 0$. Это означает, что при $x < -m/k$ значения $y$ будут отрицательными, то есть график будет проходить через третий координатный угол. Это противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, и угловой коэффициент должен быть неположительным: $k \le 0$.

Коэффициенты $k$ и $m$ не могут быть равны нулю одновременно, так как в этом случае мы получили бы прямую $y=0$ (ось абсцисс), а точка пересечения $(x_0, y_0)$ имеет $y_0 > 0$, то есть не лежит на этой оси.

Таким образом, для первой прямой имеем: $k \le 0$, $m \ge 0$ (причем $k$ и $m$ не равны нулю одновременно).

Анализ прямой $y = ax + b$

1. График проходит через первый координатный угол. Это означает, что существует хотя бы одна точка на прямой с координатами $(x_1, y_1)$, где $x_1 > 0$ и $y_1 > 0$.

2. График проходит через точку $(x_0, y_0)$ во втором квадранте.

3. Прямая не параллельна оси абсцисс. Это означает, что её угловой коэффициент $a \neq 0$.

Прямая проходит через точки в первом и втором квадрантах. Чтобы соединить точку из второго квадранта (где $x<0, y>0$) с точкой из первого квадранта (где $x>0, y>0$), график должен пересечь ось $Oy$ (где $x=0$) при положительном значении $y$. Коэффициент $b$ как раз и является ординатой точки пересечения с осью $Oy$. Следовательно, $b > 0$.

Определение знака коэффициента $a$

Мы имеем следующую информацию: $k \le 0, m \ge 0, b > 0, a \neq 0$. Для определения знака коэффициента $a$ необходимо учесть все условия в совокупности.

В условии задачи противопоставляются свойства двух прямых: прямая $y=kx+m$ не проходит через третий координатный угол, а прямая $y=ax+b$ проходит через первый. Такая формулировка, особенно использование союза "а", часто подразумевает контраст в свойствах. Логично предположить, что свойство, явно указанное для первой прямой (не проходить через III квадрант), не выполняется для второй. То есть, прямая $y=ax+b$ проходит через третий координатный угол.

Рассмотрим, при каком знаке $a$ прямая $y=ax+b$ проходит через третий квадрант. Мы уже установили, что $b>0$.

• Если $a < 0$, функция убывающая. С положительным $y$-перехватом ($b>0$) она будет проходить через I, II и IV квадранты. В III квадрант она не попадет.
• Если $a > 0$, функция возрастающая. С положительным $y$-перехватом ($b>0$) она будет проходить через I, II и III квадранты.

Таким образом, из предположения, что прямая $y=ax+b$ проходит через третий квадрант, следует, что $a>0$.

Проверим это заключение с помощью условия пересечения. В точке пересечения $(x_0, y_0)$ выполняется равенство:$kx_0 + m = ax_0 + b$$(k-a)x_0 = b-m$$x_0 = \frac{b-m}{k-a}$

Поскольку точка пересечения находится во втором квадранте, $x_0 < 0$. Значит, дробь $\frac{b-m}{k-a}$ должна быть отрицательной. Это возможно, только если числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Мы определили, что $a > 0$. Так как $k \le 0$, знаменатель $k-a$ будет отрицательным ($k-a < 0$).Следовательно, для выполнения условия $x_0 < 0$ числитель $b-m$ должен быть положительным:$b-m > 0 \implies b > m$.

Это условие ($b>m$) не противоречит ранее найденным знакам ($b>0, m \ge 0$), а лишь накладывает дополнительное ограничение на величины коэффициентов, что необходимо для существования точки пересечения именно во втором квадранте.

Таким образом, все условия задачи выполняются при следующих знаках коэффициентов:

k: $k \le 0$. Знак "меньше или равно".m: $m \ge 0$. Знак "больше или равно". (При этом $k$ и $m$ не равны нулю одновременно).a: $a > 0$. Знак "больше".b: $b > 0$. Знак "больше".

Ответ: $a > 0, b > 0, k \le 0, m \ge 0$ (при этом $k$ и $m$ не равны нулю одновременно).