Номер 1, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

1 Точки $A(4; 5)$ и $C(-2; -1)$ являются противоположными вершинами квадрата $ABCD$. Найдите координаты остальных вершин (они обозначены при обходе квадрата против хода часовой стрелки) и координату середины стороны $BC$.

Даны координаты противоположных вершин квадрата ABCD: $A(4; 5)$ и $C(-2; -1)$. Вершины обозначены при обходе квадрата против хода часовой стрелки.

Нахождение координат вершин B и D

В квадрате диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей является центром квадрата. Найдем координаты центра квадрата O как середины диагонали AC.

Формула середины отрезка: $O(x_O; y_O) = (\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2})$.

$x_O = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_O = \frac{5+(-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, центр квадрата находится в точке $O(1; 2)$.

Теперь найдем вектор, идущий из центра квадрата к одной из известных вершин, например, к вершине C.

$\vec{OC} = (x_C - x_O; y_C - y_O) = (-2-1; -1-2) = (-3; -3)$.

Вектор $\vec{OB}$ можно получить, повернув вектор $\vec{OC}$ на 90° против часовой стрелки, так как по условию обход вершин A-B-C-D идет против часовой стрелки. При повороте вектора $(x; y)$ на 90° против часовой стрелки его новые координаты становятся $(-y; x)$.

Применим это правило к вектору $\vec{OC}(-3; -3)$:

$\vec{OB} = (-(-3); -3) = (3; -3)$.

Координаты точки B найдем, прибавив к координатам центра O координаты вектора $\vec{OB}$:

$B(x_O + x_{\vec{OB}}; y_O + y_{\vec{OB}}) = (1+3; 2-3) = (4; -1)$.

Аналогично, вектор $\vec{OD}$ можно получить, повернув вектор $\vec{OC}$ на 90° по часовой стрелке, или просто заметив, что вектор $\vec{OD}$ противоположен вектору $\vec{OB}$ относительно центра O. Следовательно, $\vec{OD} = -\vec{OB}$.

$\vec{OD} = -(3; -3) = (-3; 3)$.

Координаты точки D:

$D(x_O + x_{\vec{OD}}; y_O + y_{\vec{OD}}) = (1-3; 2+3) = (-2; 5)$.

Ответ: $B(4; -1)$, $D(-2; 5)$.

Нахождение координат середины стороны BC

Найдем координаты середины стороны BC, зная координаты вершин $B(4; -1)$ и $C(-2; -1)$. Обозначим середину как точку M.

Формула середины отрезка: $M(x_M; y_M) = (\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2})$.

$x_M = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{-1+(-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: Координаты середины стороны BC: $(1; -1)$.