Номер 6, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6 На графике линейной функции $y = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4}$ найдите точку, абсцисса и ордината которой — противоположные числа.

Для решения этой задачи необходимо найти точку $(x; y)$, которая одновременно принадлежит графику функции $y = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4}$ и удовлетворяет условию, что ее координаты — противоположные числа.

Условие о противоположности координат означает, что $y = -x$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4} \\ y = -x \end{cases} $$

Мы можем решить эту систему, подставив выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $$ -x = \frac{1}{2}x + 2\frac{3}{4} $$

Преобразуем смешанную дробь $2\frac{3}{4}$ в неправильную для удобства вычислений: $$ 2\frac{3}{4} = \frac{2 \times 4 + 3}{4} = \frac{8 + 3}{4} = \frac{11}{4} $$

Подставим это значение обратно в уравнение: $$ -x = \frac{1}{2}x + \frac{11}{4} $$

Соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения: $$ -x - \frac{1}{2}x = \frac{11}{4} $$

Выполним вычитание в левой части: $$ -\frac{2}{2}x - \frac{1}{2}x = \frac{11}{4} $$ $$ -\frac{3}{2}x = \frac{11}{4} $$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на обратную дробь к коэффициенту при $x$, то есть на $-\frac{2}{3}$: $$ x = \frac{11}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) $$ $$ x = -\frac{11 \cdot 2}{4 \cdot 3} = -\frac{22}{12} $$

Сократим полученную дробь: $$ x = -\frac{11}{6} $$

Теперь, зная абсциссу $x$, найдем ординату $y$ из условия $y = -x$: $$ y = - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{11}{6} $$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $\left(-\frac{11}{6}; \frac{11}{6}\right)$.

Ответ: $\left(-\frac{11}{6}; \frac{11}{6}\right)$.