Номер 9, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

9. Для двух линейных функций $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ подберите такие коэффициенты $k_1$, $k_2$, $b_1$, $b_2$, чтобы их графики пересекались в первом координатном угле и одна из функций была бы убывающей, а вторая возрастающей.

Для решения задачи необходимо подобрать коэффициенты для двух линейных функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ так, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Одна функция является возрастающей, а вторая — убывающей.
2. Графики этих функций пересекаются в первом координатном угле (I квадранте).

Шаг 1: Анализ условия возрастания и убывания функций.

Линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$).

Линейная функция является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).

Пусть функция $y = k_1x + b_1$ будет возрастающей, а $y = k_2x + b_2$ — убывающей. Для этого необходимо выбрать коэффициенты $k_1$ и $k_2$ так, чтобы:

$k_1 > 0$ и $k_2 < 0$.

Например, выберем $k_1 = 1$ и $k_2 = -2$.

Шаг 2: Анализ условия пересечения в первом координатном угле.

Первый координатный угол — это область, где обе координаты, абсцисса ($x$) и ордината ($y$), положительны. Если точка пересечения $(x_0, y_0)$, то должно выполняться $x_0 > 0$ и $y_0 > 0$.

Найдем абсциссу точки пересечения $x_0$, приравняв выражения для $y$:

$k_1x_0 + b_1 = k_2x_0 + b_2$

Перенесем слагаемые с $x_0$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$k_1x_0 - k_2x_0 = b_2 - b_1$

$x_0(k_1 - k_2) = b_2 - b_1$

Отсюда, $x_0 = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$

Поскольку мы выбрали $k_1 > 0$ и $k_2 < 0$, знаменатель $k_1 - k_2$ будет разностью положительного и отрицательного числа, что всегда дает положительное число. В нашем примере $k_1 - k_2 = 1 - (-2) = 3 > 0$.

Чтобы $x_0$ был положителен ($x_0 > 0$), необходимо, чтобы числитель также был положителен:

$b_2 - b_1 > 0 \implies b_2 > b_1$

Теперь найдем ординату точки пересечения $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение одной из функций, например, первой:

$y_0 = k_1x_0 + b_1$

Для того чтобы точка пересечения была в первом квадранте, должно выполняться условие $y_0 > 0$.

$k_1x_0 + b_1 > 0$

Шаг 3: Подбор конкретных коэффициентов и проверка.

Соберем все условия вместе:

1. $k_1 > 0$
2. $k_2 < 0$
3. $b_2 > b_1$
4. $y_0 > 0$ (где $y_0$ - ордината точки пересечения)

Давайте подберем простые целые числа, удовлетворяющие этим условиям.

1. Мы уже выбрали $k_1 = 1$ и $k_2 = -2$.

2. Теперь выберем $b_1$ и $b_2$ так, чтобы $b_2 > b_1$. Пусть, например, $b_1 = 2$ и $b_2 = 5$. Условие $5 > 2$ выполняется.

Таким образом, мы получили две функции:

• Возрастающая функция: $y = x + 2$ (здесь $k_1=1, b_1=2$)
• Убывающая функция: $y = -2x + 5$ (здесь $k_2=-2, b_2=5$)

3. Проверим, где находится их точка пересечения. Найдем ее координаты:

$x + 2 = -2x + 5$

$3x = 3$

$x_0 = 1$

Подставим найденное значение $x_0$ в первое уравнение:

$y_0 = 1 + 2 = 3$

Точка пересечения — $(1, 3)$.

Поскольку $x_0 = 1 > 0$ и $y_0 = 3 > 0$, точка пересечения находится в первом координатном угле. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Один из возможных наборов коэффициентов: $k_1 = 1$, $b_1 = 2$ для возрастающей функции $y = x + 2$ и $k_2 = -2$, $b_2 = 5$ для убывающей функции $y = -2x + 5$.