Номер 1, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Вариант 2

1 Точки $B(-4; 2)$ и $D(2; -4)$ являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин (они обозначены при обходе квадрата по ходу часовой стрелки) и координату середины стороны AD.

Нахождение координат остальных вершин

Точки B и D являются противоположными вершинами квадрата, следовательно, отрезок BD — это его диагональ. Диагонали квадрата пересекаются в его центре, делятся в точке пересечения пополам и перпендикулярны друг другу.

1. Найдем координаты центра квадрата O, который является серединой диагонали BD.
Координаты середины отрезка находятся по формуле: $O(\frac{x_B+x_D}{2}; \frac{y_B+y_D}{2})$.
$x_O = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_O = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, центр квадрата — точка $O(-1; -1)$.

2. Найдем координаты вершин A и C. Точка O также является серединой диагонали AC. Вектор $\vec{OA}$ (и $\vec{OC}$) можно получить поворотом вектора $\vec{OB}$ (или $\vec{OD}$) на 90° вокруг центра O.
Найдем координаты вектора $\vec{OD}$:
$\vec{OD} = \{x_D - x_O; y_D - y_O\} = \{2 - (-1); -4 - (-1)\} = \{3; -3\}$.

3. Повернем вектор $\vec{OD} = \{3; -3\}$ на +90° и -90° для получения векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.
При повороте вектора $\{x; y\}$ на +90° получается вектор $\{-y; x\}$.
При повороте вектора $\{x; y\}$ на -90° получается вектор $\{y; -x\}$.
Получаем два возможных вектора для $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$:
Вектор 1 (поворот на +90°): $\{-(-3); 3\} = \{3; 3\}$.
Вектор 2 (поворот на -90°): $\{-3; -3\}$.

4. Найдем координаты вершин A и C, прибавляя к координатам центра O координаты полученных векторов.
Вершина 1: $(-1 + 3; -1 + 3) = (2; 2)$.
Вершина 2: $(-1 - 3; -1 - 3) = (-4; -4)$.
Итак, другие две вершины квадрата — это $(2; 2)$ и $(-4; -4)$.

5. Определим, какая из точек является A, а какая — C. По условию, вершины обходятся по ходу часовой стрелки (A, B, C, D).
Имеем точки $B(-4; 2)$ и $D(2; -4)$.
Проверим вариант: $A(-4; -4)$ и $C(2; 2)$.
Последовательность $A(-4; -4) \rightarrow B(-4; 2) \rightarrow C(2; 2) \rightarrow D(2; -4)$.
Движение от A к B — вверх. От B к C — вправо. От C к D — вниз. От D к A — влево. Этот порядок обхода (вверх-вправо-вниз-влево) соответствует движению по часовой стрелке.
Следовательно, $A(-4; -4)$ и $C(2; 2)$.

Ответ: Координаты остальных вершин: $A(-4; -4)$, $C(2; 2)$.

Нахождение координаты середины стороны AD

Для нахождения координат середины стороны AD (обозначим ее M) воспользуемся координатами вершин $A(-4; -4)$ и $D(2; -4)$.
Формулы для координат середины отрезка:
$x_M = \frac{x_A + x_D}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_D}{2}$
Подставляем значения:
$x_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{-4 + (-4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: Координаты середины стороны AD: $(-1; -4)$.