Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Приведите пример линейных функций, графики которых параллельны.

Общий вид линейной функции — это $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Графиком линейной функции является прямая линия. Угловой коэффициент $k$ определяет угол наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс (OX). Свободный член $b$ определяет точку, в которой прямая пересекает ось ординат (OY), эта точка имеет координаты $(0, b)$.

Два графика линейных функций параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны.

Математически это условие для двух функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ записывается так: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Если бы и свободные члены были равны ($b_1 = b_2$), то прямые бы полностью совпадали, а не были параллельны.

Для того чтобы привести пример, достаточно выбрать любое значение для углового коэффициента $k$ и два разных значения для свободных членов $b$.

Пример 1:
Пусть угловой коэффициент $k = 5$.
Пусть свободные члены $b_1 = 3$ и $b_2 = -1$.
Тогда функции $y = 5x + 3$ и $y = 5x - 1$ являются линейными, и их графики параллельны.

Пример 2:
Пусть угловой коэффициент $k = -2$.
Пусть свободные члены $b_1 = 0$ и $b_2 = 4$.
Тогда функции $y = -2x$ и $y = -2x + 4$ являются линейными, и их графики параллельны.

Ответ: Например, графики функций $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 4$ параллельны.

2. Приведите пример линейных функций, графики которых совпадают.

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$. Ее графиком является прямая линия. Положение этой прямой на координатной плоскости полностью определяется двумя параметрами: угловым коэффициентом $k$ (отвечает за наклон прямой) и свободным членом $b$ (отвечает за сдвиг прямой вдоль оси $y$, точка пересечения с осью $y$ имеет координату $(0, b)$).

Графики двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ совпадают в том и только в том случае, если они описывают одну и ту же прямую. Это происходит, когда их соответствующие коэффициенты равны, то есть должно выполняться два условия одновременно: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

Чтобы привести пример таких функций, достаточно выбрать любую линейную функцию и записать ее в двух различных, но алгебраически эквивалентных формах.

Например, выберем функцию $y = 2x + 3$.

Теперь запишем другую функцию, которая после упрощения будет идентична первой. Например:$y = (4x+6) / 2$.

Проверим, что эти функции одинаковы. Упростим вторую функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:$y = \frac{4x}{2} + \frac{6}{2} = 2x + 3$.

Как мы видим, после преобразования вторая функция полностью совпадает с первой. У обеих функций угловой коэффициент $k=2$ и свободный член $b=3$. Следовательно, их графики совпадают.

Ответ: Например, функции $y = 2x + 3$ и $y = (4x+6)/2$.

3. Приведите пример линейных функций, графики которых пересекаются.

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Графиком линейной функции является прямая.

Две прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда они не параллельны. В терминах линейных функций это означает, что их угловые коэффициенты должны быть различны. То есть, для двух функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ условием пересечения их графиков является неравенство $k_1 \neq k_2$. Свободные члены $b_1$ и $b_2$ при этом могут быть любыми.

Для примера выберем две функции с разными угловыми коэффициентами.

Пусть первая функция будет $y = 3x + 1$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 3$.
Пусть вторая функция будет $y = -x + 5$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = -1$.

Так как $k_1 \neq k_2$ ($3 \neq -1$), графики этих функций пересекаются.

В качестве доказательства найдем их точку пересечения. В точке пересечения значения $x$ и $y$ для обеих функций совпадают, поэтому мы можем приравнять их правые части:
$3x + 1 = -x + 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x + x = 5 - 1$
$4x = 4$
$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в уравнение любой из функций:
$y = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4$
Таким образом, графики функций $y = 3x + 1$ и $y = -x + 5$ пересекаются в точке с координатами $(1, 4)$.

Ответ: $y = 3x + 1$ и $y = -x + 5$.

4. Что вы можете сказать о взаимном расположении на координатной плоскости $xOy$ графиков линейных функций:

а) $y = 2x + 3$ и $y = 3x - 2$;

б) $y = 2x + 3$ и $y = 2x$?

Чтобы определить взаимное расположение графиков линейных функций вида $y = kx + b$, необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то прямые пересекаются.
• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.

а) Даны функции $y = 2x + 3$ и $y = 3x - 2$.

Для первой функции угловой коэффициент $k_1 = 2$.

Для второй функции угловой коэффициент $k_2 = 3$.

Так как угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$, поскольку $2 \neq 3$), графики данных функций пересекаются.

Ответ: графики функций пересекаются.

б) Даны функции $y = 2x + 3$ и $y = 2x$.

Для первой функции $y = 2x + 3$ угловой коэффициент $k_1 = 2$ и свободный член $b_1 = 3$.

Для второй функции $y = 2x$ угловой коэффициент $k_2 = 2$ и свободный член $b_2 = 0$ (так как функцию можно представить в виде $y=2x+0$).

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = k_2 = 2$. Это означает, что прямые либо параллельны, либо совпадают.

Сравниваем свободные члены: $b_1 = 3$ и $b_2 = 0$. Так как $b_1 \neq b_2$, прямые не совпадают. Следовательно, они параллельны.

Ответ: графики функций параллельны.

5. Как будет расположен график функции $y = 4x + a$ относительно графика функции $y = 4x$, если $a > 0$? если $a < 0$?

Данные функции $y = 4x + a$ и $y = 4x$ являются линейными. Их общий вид $y = kx + b$.

У обеих функций одинаковый угловой коэффициент $k=4$. Это означает, что графики этих функций являются параллельными прямыми.

Параметр $a$ во второй функции отвечает за сдвиг графика вдоль оси ординат (OY). График функции $y = f(x) + a$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси OY. Рассмотрим два случая.

если a > 0

Если коэффициент $a$ является положительным числом, то для любого значения $x$ ордината $y$ функции $y = 4x + a$ будет на $a$ единиц больше, чем ордината $y$ функции $y = 4x$. Геометрически это означает, что график функции $y = 4x$ смещается вверх на $a$ единиц. Точка пересечения с осью OY смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, a)$.

Ответ: График функции $y = 4x + a$ будет расположен выше графика функции $y = 4x$ и параллелен ему. Он получается путем сдвига графика $y = 4x$ на $a$ единиц вверх вдоль оси OY.

если a < 0

Если коэффициент $a$ является отрицательным числом, то для любого значения $x$ ордината $y$ функции $y = 4x + a$ будет на $|a|$ единиц меньше, чем ордината $y$ функции $y = 4x$. Геометрически это означает, что график функции $y = 4x$ смещается вниз на $|a|$ единиц. Точка пересечения с осью OY смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, a)$.

Ответ: График функции $y = 4x + a$ будет расположен ниже графика функции $y = 4x$ и параллелен ему. Он получается путем сдвига графика $y = 4x$ на $|a|$ единиц вниз вдоль оси OY.

6. Сформулируйте теорему о взаимном расположении графиков линейных функций.

Теорема о взаимном расположении графиков двух линейных функций, заданных уравнениями $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$, устанавливает связь между значениями их коэффициентов ($k_1$, $b_1$, $k_2$, $b_2$) и геометрическим расположением прямых на координатной плоскости.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Теорема формулирует условия для каждого из этих случаев.

Ответ:

Теорема о взаимном расположении графиков двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ формулируется следующим образом:

• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций (прямые) пересекаются в одной точке.
• Если угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$), то графики функций параллельны.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$), то графики функций совпадают.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Вариант 2

1 Точки $B(-4; 2)$ и $D(2; -4)$ являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Найдите координаты остальных вершин (они обозначены при обходе квадрата по ходу часовой стрелки) и координату середины стороны AD.

Нахождение координат остальных вершин

Точки B и D являются противоположными вершинами квадрата, следовательно, отрезок BD — это его диагональ. Диагонали квадрата пересекаются в его центре, делятся в точке пересечения пополам и перпендикулярны друг другу.

1. Найдем координаты центра квадрата O, который является серединой диагонали BD.
Координаты середины отрезка находятся по формуле: $O(\frac{x_B+x_D}{2}; \frac{y_B+y_D}{2})$.
$x_O = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_O = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Таким образом, центр квадрата — точка $O(-1; -1)$.

2. Найдем координаты вершин A и C. Точка O также является серединой диагонали AC. Вектор $\vec{OA}$ (и $\vec{OC}$) можно получить поворотом вектора $\vec{OB}$ (или $\vec{OD}$) на 90° вокруг центра O.
Найдем координаты вектора $\vec{OD}$:
$\vec{OD} = \{x_D - x_O; y_D - y_O\} = \{2 - (-1); -4 - (-1)\} = \{3; -3\}$.

3. Повернем вектор $\vec{OD} = \{3; -3\}$ на +90° и -90° для получения векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.
При повороте вектора $\{x; y\}$ на +90° получается вектор $\{-y; x\}$.
При повороте вектора $\{x; y\}$ на -90° получается вектор $\{y; -x\}$.
Получаем два возможных вектора для $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$:
Вектор 1 (поворот на +90°): $\{-(-3); 3\} = \{3; 3\}$.
Вектор 2 (поворот на -90°): $\{-3; -3\}$.

4. Найдем координаты вершин A и C, прибавляя к координатам центра O координаты полученных векторов.
Вершина 1: $(-1 + 3; -1 + 3) = (2; 2)$.
Вершина 2: $(-1 - 3; -1 - 3) = (-4; -4)$.
Итак, другие две вершины квадрата — это $(2; 2)$ и $(-4; -4)$.

5. Определим, какая из точек является A, а какая — C. По условию, вершины обходятся по ходу часовой стрелки (A, B, C, D).
Имеем точки $B(-4; 2)$ и $D(2; -4)$.
Проверим вариант: $A(-4; -4)$ и $C(2; 2)$.
Последовательность $A(-4; -4) \rightarrow B(-4; 2) \rightarrow C(2; 2) \rightarrow D(2; -4)$.
Движение от A к B — вверх. От B к C — вправо. От C к D — вниз. От D к A — влево. Этот порядок обхода (вверх-вправо-вниз-влево) соответствует движению по часовой стрелке.
Следовательно, $A(-4; -4)$ и $C(2; 2)$.

Ответ: Координаты остальных вершин: $A(-4; -4)$, $C(2; 2)$.

Нахождение координаты середины стороны AD

Для нахождения координат середины стороны AD (обозначим ее M) воспользуемся координатами вершин $A(-4; -4)$ и $D(2; -4)$.
Формулы для координат середины отрезка:
$x_M = \frac{x_A + x_D}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_D}{2}$
Подставляем значения:
$x_M = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_M = \frac{-4 + (-4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: Координаты середины стороны AD: $(-1; -4)$.

2 Найдите координаты точек, в которых прямая FE, где $F(3; 4)$ и $E(-6; -5)$, пересекает координатные оси.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения прямой с координатными осями, сначала необходимо составить уравнение этой прямой. Прямая проходит через две точки: F(3; 4) и E(-6; -5).

Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

Подставим в эту формулу координаты точек F и E, где $(x_1, y_1)$ это (3, 4), а $(x_2, y_2)$ это (-6, -5):

$ \frac{x - 3}{-6 - 3} = \frac{y - 4}{-5 - 4} $

Выполним вычисления в знаменателях:

$ \frac{x - 3}{-9} = \frac{y - 4}{-9} $

Умножим обе части уравнения на -9, чтобы избавиться от знаменателей:

$ x - 3 = y - 4 $

Теперь выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение прямой в виде $y = kx + b$:

$ y = x - 3 + 4 $

$ y = x + 1 $

Теперь, имея уравнение прямой $y = x + 1$, мы можем найти точки её пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (OY)

Точка пересечения с осью ординат (осью OY) всегда имеет координату $x$, равную нулю. Подставим значение $x = 0$ в уравнение нашей прямой:

$ y = 0 + 1 $

$ y = 1 $

Следовательно, координаты точки пересечения прямой FE с осью OY равны (0; 1).

Ответ: (0; 1)

Пересечение с осью абсцисс (OX)

Точка пересечения с осью абсцисс (осью OX) всегда имеет координату $y$, равную нулю. Подставим значение $y = 0$ в уравнение прямой:

$ 0 = x + 1 $

Отсюда находим $x$:

$ x = -1 $

Следовательно, координаты точки пересечения прямой FE с осью OX равны (-1; 0).

Ответ: (-1; 0)

3 Найдите линейную функцию $y = kx - 3$, если известно, что её график проходит через точку $M(2; -9)$.

Дана линейная функция в виде $y = kx - 3$. Чтобы найти эту функцию, необходимо определить значение коэффициента $k$.

По условию, график функции проходит через точку $M(2; -9)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. То есть, при $x = 2$ значение $y$ должно быть равно $-9$.

Подставим значения координат точки $M$ ($x=2$, $y=-9$) в уравнение функции:

$-9 = k \cdot 2 - 3$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $k$:

$-9 = 2k - 3$

Перенесем $-3$ в левую часть уравнения, поменяв знак:

$-9 + 3 = 2k$

$-6 = 2k$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $k$:

$k = \frac{-6}{2}$

$k = -3$

Теперь, когда мы нашли значение коэффициента $k$, мы можем записать итоговый вид линейной функции, подставив $k = -3$ в исходное уравнение:

$y = -3x - 3$

Ответ: $y = -3x - 3$

4 Постройте график линейной функции $y = 0.5x - 2$ и с его помощью решите неравенство $0.5x - 2 < -3$.

Задача состоит из двух частей: построение графика линейной функции $y = 0,5x - 2$ и последующее решение неравенства $0,5x - 2 < -3$ с использованием этого графика.

Построение графика функции $y = 0,5x - 2$

Функция $y = 0,5x - 2$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Составим таблицу значений:

1. Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.
2. Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(4; 0)$.

Отметим точки $(0; -2)$ и $(4; 0)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Это и будет график функции $y = 0,5x - 2$.

Решение неравенства $0,5x - 2 < -3$ с помощью графика

Чтобы решить неравенство $0,5x - 2 < -3$ графически, нам нужно найти все значения $x$, для которых график функции $y = 0,5x - 2$ находится ниже прямой $y = -3$.

1. Начертим в той же системе координат прямую $y = -3$. Это горизонтальная линия, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0; -3)$.
2. Найдем точку пересечения графиков $y = 0,5x - 2$ и $y = -3$. Для этого решим уравнение:
   $0,5x - 2 = -3$
   $0,5x = -3 + 2$
   $0,5x = -1$
   $x = \frac{-1}{0,5}$
   $x = -2$
   Координаты точки пересечения: $(-2; -3)$.
3. Теперь посмотрим на график. Прямая $y = 0,5x - 2$ (синяя линия) находится ниже прямой $y = -3$ (красная пунктирная линия) на том участке, где абсциссы $x$ меньше абсциссы точки пересечения. То есть, при $x < -2$. Этот участок графика для наглядности выделен более жирной линией.

Ответ: $x < -2$ (или $x \in (-\infty; -2)$).

5 Найдите координаты точек пересечения графика линейной функции $y = -2.4x + 7.2$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо найти значения $x$ и $y$ в точках, где график пересекает ось абсцисс (Ox) и ось ординат (Oy).

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Любая точка, лежащая на оси ординат (Oy), имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. Чтобы найти ординату точки пересечения, подставим $x = 0$ в уравнение функции $y = -2,4x + 7,2$.

$y = -2,4 \cdot 0 + 7,2$

$y = 0 + 7,2$

$y = 7,2$

Таким образом, точка пересечения графика с осью Oy имеет координаты $(0; 7,2)$.

Ответ: $(0; 7,2)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Любая точка, лежащая на оси абсцисс (Ox), имеет ординату (координату $y$) равную нулю. Чтобы найти абсциссу точки пересечения, подставим $y = 0$ в уравнение функции и решим его относительно $x$.

$0 = -2,4x + 7,2$

Перенесём слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$2,4x = 7,2$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на $2,4$:

$x = \frac{7,2}{2,4}$

$x = 3$

Таким образом, точка пересечения графика с осью Ox имеет координаты $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

6 Для линейной функции $y = -\frac{3}{4}x + 3\frac{1}{2}$ найдите точку, абсцисса и ордината которой — одинаковые числа.

Дана линейная функция $y = -\frac{3}{4}x + 3\frac{1}{2}$.

По условию задачи, необходимо найти точку, у которой абсцисса (координата $x$) и ордината (координата $y$) являются одинаковыми числами. Это означает, что для искомой точки должно выполняться условие $y = x$.

Чтобы найти координаты такой точки, мы можем подставить $x$ вместо $y$ в уравнение функции:
$x = -\frac{3}{4}x + 3\frac{1}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Для удобства вычислений преобразуем смешанное число $3\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:
$3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Уравнение примет вид:
$x = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}$

Перенесем слагаемое, содержащее $x$, из правой части в левую, изменив его знак:
$x + \frac{3}{4}x = \frac{7}{2}$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:
$\frac{4}{4}x + \frac{3}{4}x = \frac{7}{2}$
$\frac{7}{4}x = \frac{7}{2}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{7}{4}$. Это то же самое, что умножить на обратную дробь $\frac{4}{7}$:
$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}$

Выполним умножение и сократим дроби:
$x = \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 7} = \frac{4}{2} = 2$

Мы нашли абсциссу точки: $x = 2$.
Поскольку по условию абсцисса и ордината равны, то $y = x = 2$.
Таким образом, искомая точка имеет координаты $(2; 2)$.

Ответ: $(2; 2)$

7 Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и точку M(3; -4,5). Найдите точку пересечения этого графика с прямой $x - 2y + 4 = 0$.

Задание формулы линейной функции

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$.

По условию, график функции проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим эти координаты в уравнение функции:

$0 = k \cdot 0 + b$

Отсюда следует, что $b = 0$. Таким образом, уравнение функции упрощается до $y = kx$.

Также известно, что график проходит через точку $M(3; -4,5)$. Подставим координаты этой точки в уравнение $y = kx$, чтобы найти значение углового коэффициента $k$:

$-4,5 = k \cdot 3$

Решим уравнение относительно $k$:

$k = \frac{-4,5}{3} = -1,5$

Итак, искомая формула линейной функции:

$y = -1,5x$

Ответ: $y = -1,5x$

Нахождение точки пересечения

Теперь найдем точку пересечения графика функции $y = -1,5x$ с прямой, заданной уравнением $x - 2y + 4 = 0$. Для этого нужно решить систему из этих двух уравнений:

$\begin{cases} y = -1,5x \\ x - 2y + 4 = 0 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки: подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе.

$x - 2(-1,5x) + 4 = 0$

Упростим и решим полученное уравнение:

$x + 3x + 4 = 0$

$4x + 4 = 0$

$4x = -4$

$x = -1$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в уравнение нашей функции:

$y = -1,5 \cdot (-1)$

$y = 1,5$

Следовательно, координаты точки пересечения двух графиков равны $(-1; 1,5)$.

Ответ: $(-1; 1,5)$

8 Найдите точку пересечения графиков линейных функций $y = 5x + 1$ и $y = -3x + 4$.

Чтобы найти точку пересечения графиков двух функций, нужно найти такие значения координат $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. В точке пересечения значения $y$ для обеих функций равны. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений данных функций.

Нам даны две линейные функции: $y = 5x + 1$ и $y = -3x + 4$.

Приравняем выражения для $y$:
$5x + 1 = -3x + 4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую.
$5x + 3x = 4 - 1$
$8x = 3$

Разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{3}{8}$

Теперь, зная координату $x$, мы можем найти ординату (координату $y$), подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Подставим $x = \frac{3}{8}$ в первое уравнение $y = 5x + 1$:
$y = 5 \cdot \left(\frac{3}{8}\right) + 1$
$y = \frac{15}{8} + 1$
Чтобы сложить дробь и целое число, представим 1 как дробь со знаменателем 8:
$y = \frac{15}{8} + \frac{8}{8}$
$y = \frac{15 + 8}{8}$
$y = \frac{23}{8}$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков равны $\left(\frac{3}{8}, \frac{23}{8}\right)$. Для проверки можно подставить $x$ и во второе уравнение: $y = -3\left(\frac{3}{8}\right) + 4 = -\frac{9}{8} + \frac{32}{8} = \frac{23}{8}$. Результат совпадает.

Ответ: $\left(\frac{3}{8}; \frac{23}{8}\right)$

9 Для двух линейных функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ подберите такие коэффициенты $k_1, k_2, b_1, b_2$, чтобы их графики пересекались во втором координатном угле и обе функции были бы убывающими.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько условий, которые накладываются на коэффициенты $k_1, k_2, b_1, b_2$. Разберем каждое из них.

1. Обе функции должны быть убывающими.

Линейная функция $y = kx + b$ является убывающей, если ее угловой коэффициент $k$ (тангенс угла наклона прямой) отрицателен. Таким образом, для обеих функций должно выполняться:

$k_1 < 0$

$k_2 < 0$

2. Графики функций должны пересекаться.

Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке, если они не параллельны. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Следовательно, для пересечения необходимо, чтобы:

$k_1 \neq k_2$

3. Точка пересечения должна лежать во втором координатном угле.

Второй координатный угол (или квадрант) — это область, где абсцисса (координата $x$) отрицательна, а ордината (координата $y$) положительна. Если точка пересечения $(x_0, y_0)$, то должны выполняться условия:

$x_0 < 0$

$y_0 > 0$

Найдем координаты точки пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений функций:

$k_1x_0 + b_1 = k_2x_0 + b_2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $x_0$:

$k_1x_0 - k_2x_0 = b_2 - b_1$

$x_0(k_1 - k_2) = b_2 - b_1$

$x_0 = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}$

Чтобы $x_0 < 0$, числитель и знаменатель дроби должны иметь разные знаки. То есть, если $k_1 - k_2 > 0$, то $b_2 - b_1 < 0$. И наоборот, если $k_1 - k_2 < 0$, то $b_2 - b_1 > 0$.

Теперь рассмотрим условие $y_0 > 0$. Убывающая функция ($k < 0$) может проходить через второй квадрант только в том случае, если она пересекает ось ординат ($y$) в положительной точке. Точка пересечения с осью $y$ — это значение функции при $x=0$, которое равно коэффициенту $b$. Если бы $b \le 0$, то убывающая прямая находилась бы только в I, IV и III квадрантах (или только в IV и III, если $b < 0$). Таким образом, для обеих функций необходимо, чтобы:

$b_1 > 0$

$b_2 > 0$

Если это условие выполнено, то для любого $x_0 < 0$ значение $y_0 = kx_0 + b$ будет автоматически положительным, так как $k < 0, x_0 < 0 \Rightarrow kx_0 > 0$, и значит $y_0 = (\text{положительное число}) + b > 0$.

Подбор коэффициентов

Итак, нам нужно подобрать коэффициенты, удовлетворяющие системе неравенств:

• $k_1 < 0, k_2 < 0$
• $k_1 \neq k_2$
• $b_1 > 0, b_2 > 0$
• $\frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2} < 0$

Давайте выберем конкретные значения:

1. Пусть $k_1 = -3$ и $k_2 = -1$. Оба коэффициента отрицательны и не равны друг другу.

2. Знаменатель для $x_0$ будет $k_1 - k_2 = -3 - (-1) = -2$. Он отрицателен.

3. Чтобы дробь для $x_0$ была отрицательной, числитель $b_2 - b_1$ должен быть положительным. Это значит, что $b_2 > b_1$.

4. Выберем положительные $b_1$ и $b_2$ так, чтобы $b_2 > b_1$. Например, пусть $b_1 = 2$ и $b_2 = 4$.

Получили две функции: $y = -3x + 2$ и $y = -x + 4$.

Проверим их точку пересечения:

$-3x + 2 = -x + 4$

$-2x = 2$

$x_0 = -1$

Найдем $y_0$, подставив $x_0 = -1$ в любое из уравнений (например, во второе):

$y_0 = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5$

Точка пересечения $(-1, 5)$. Поскольку $x_0 = -1 < 0$ и $y_0 = 5 > 0$, эта точка находится во втором координатном угле. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Один из возможных вариантов: для функции $y = k_1x + b_1$ коэффициенты $k_1 = -3, b_1 = 2$; для функции $y = k_2x + b_2$ коэффициенты $k_2 = -1, b_2 = 4$. То есть, функции $y = -3x + 2$ и $y = -x + 4$.

10 Составьте упорядоченный ряд из координат вершин квадрата ABCD из задания 1 и координат середины диагонали BD. Найдите медиану этого ряда.

Поскольку в условии задачи дается ссылка на задание 1, которое отсутствует, для решения необходимо сделать предположение о координатах вершин квадрата ABCD. Предположим, что в задании 1 был задан квадрат с вершиной в начале координат и стороной, равной 4: A(0, 0), B(4, 0), C(4, 4), D(0, 4).

Составьте упорядоченный ряд из координат вершин квадрата ABCD из задания 1 и координат середины диагонали BD.

Сначала выпишем все координатные значения вершин квадрата A(0, 0), B(4, 0), C(4, 4) и D(0, 4):
0, 0, 4, 0, 4, 4, 0, 4.

Далее найдем координаты середины диагонали BD. Пусть M - середина отрезка с концами в точках B(4, 0) и D(0, 4). Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$
$y_M = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$
Координаты точки M равны (2, 2), следовательно, координатные значения середины диагонали: 2, 2.

Теперь объединим все полученные значения в один числовой ряд и расположим их в порядке возрастания, чтобы получить упорядоченный ряд:
Исходный набор чисел: 0, 0, 4, 0, 4, 4, 0, 4, 2, 2.
Упорядоченный ряд: 0, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 4, 4, 4.

Ответ: Упорядоченный ряд: 0, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 4, 4, 4.

Найдите медиану этого ряда.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора данных. Наш упорядоченный ряд состоит из 10 чисел (четное количество):
0, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 4, 4, 4.

Для ряда с четным количеством элементов медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. В данном случае это пятый и шестой элементы.
Пятый элемент равен 2.
Шестой элемент равен 2.

Вычислим медиану:
Медиана = $\frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: Медиана ряда равна 2.