Страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Задачи на координатной плоскости.

Поскольку на изображении указана только тема, но не сами задачи, ниже приведены решения нескольких типичных задач на координатной плоскости.

а) Найти расстояние между точками A(-2, 5) и B(4, -3).

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на координатной плоскости используется формула: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Подставим координаты данных точек $A(-2, 5)$ и $B(4, -3)$ в эту формулу. Здесь $x_1 = -2$, $y_1 = 5$, $x_2 = 4$ и $y_2 = -3$.
$d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Таким образом, расстояние между точками A и B равно 10.

Ответ: 10.

б) Найти координаты середины отрезка CD, если C(7, -1) и D(-3, 5).

Координаты $(x_m, y_m)$ середины отрезка с концами в точках $C(x_1, y_1)$ и $D(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.
Подставим координаты точек $C(7, -1)$ и $D(-3, 5)$:
$x_m = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_m = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Следовательно, координаты середины отрезка CD — точка $(2, 2)$.

Ответ: (2, 2).

в) Составить уравнение прямой, проходящей через точки E(1, 2) и F(3, 8).

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью OY).
Сначала найдем угловой коэффициент $k$ по формуле, используя координаты двух точек $E(x_1, y_1)$ и $F(x_2, y_2)$:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Подставим координаты точек $E(1, 2)$ и $F(3, 8)$:
$k = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
Теперь уравнение прямой имеет вид $y = 3x + b$. Чтобы найти коэффициент $b$, подставим в это уравнение координаты любой из двух точек, например, точки $E(1, 2)$:
$2 = 3 \cdot 1 + b$
$2 = 3 + b$
$b = 2 - 3 = -1$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = 3x - 1$.

Ответ: $y = 3x - 1$.

г) Составить уравнение окружности с центром в точке O(-1, 4) и радиусом r = 5.

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.
По условию, центр окружности — это точка $O(-1, 4)$, следовательно, $x_0 = -1$ и $y_0 = 4$. Радиус $r = 5$.
Подставим эти значения в стандартное уравнение окружности:
$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 5^2$
$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25$
Это и есть искомое уравнение окружности.

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25$.

2. Линейные уравнения с двумя переменными и линейные функции как математические модели реальных ситуаций.

Математическое моделирование — это процесс описания реальной ситуации или объекта с помощью математического языка. Линейные уравнения и функции являются одними из простейших, но в то же время мощных инструментов для такого моделирования. Они позволяют анализировать зависимости между различными величинами, делать прогнозы и принимать решения.

Линейные уравнения с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций

Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты). Такие уравнения часто используются для моделирования ситуаций, в которых существует некоторое фиксированное ограничение на две различные величины.

Рассмотрим пример. Фермеру нужно закупить саженцы яблонь и груш. Саженец яблони стоит 200 рублей, а саженец груши — 300 рублей. Всего на покупку фермер выделил 6000 рублей.

Составим математическую модель этой ситуации:

• Пусть $x$ — количество купленных саженцев яблонь.
• Пусть $y$ — количество купленных саженцев груш.

Тогда общая стоимость саженцев яблонь составит $200x$ рублей, а общая стоимость саженцев груш — $300y$ рублей. Поскольку общий бюджет ограничен 6000 рублями, мы можем составить уравнение:

$200x + 300y = 6000$

Это и есть математическая модель ситуации. Решениями этого уравнения являются пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют данному условию. В контексте задачи $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами. Например, если фермер купит 15 яблонь ($x=15$), то мы можем найти, сколько груш он сможет купить:

$200(15) + 300y = 6000$
$3000 + 300y = 6000$
$300y = 3000$
$y = 10$

Таким образом, пара $(15, 10)$ является одним из возможных решений. Модель позволяет найти все возможные комбинации покупок, не выходя за рамки бюджета.

Ответ: Линейное уравнение с двумя переменными вида $ax+by=c$ моделирует ситуации, где две величины ($x$ и $y$) связаны общим ограничением ($c$), например, общим бюджетом, весом или количеством. Коэффициенты $a$ и $b$ отражают вклад каждой величины (например, цену за единицу или вес одного предмета).

Линейные функции как математические модели реальных ситуаций

Линейная функция имеет вид $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $y$ — зависимая переменная (функция). Коэффициенты $k$ и $b$ имеют четкий физический или экономический смысл:

• $k$ — угловой коэффициент, который показывает скорость изменения величины $y$ при изменении $x$ на единицу. Это может быть скорость, цена за единицу, тариф и т.д.
• $b$ — свободный член, который показывает начальное значение величины $y$ (когда $x=0$). Это может быть начальное положение, абонентская плата, фиксированная стоимость и т.п.

Рассмотрим пример. Стоимость поездки на такси складывается из фиксированной платы за подачу машины (150 рублей) и платы за каждый километр пути (25 рублей за километр).

Составим математическую модель для расчета стоимости поездки:

• Пусть $x$ — расстояние поездки в километрах.
• Пусть $y$ — итоговая стоимость поездки в рублях.

В этой модели:

• Начальное значение (плата за подачу, не зависящая от расстояния) — это $b = 150$.
• Скорость изменения стоимости (цена за километр) — это $k = 25$.

Таким образом, зависимость стоимости поездки от расстояния описывается линейной функцией:

$y = 25x + 150$

С помощью этой модели можно легко рассчитать стоимость поездки на любое расстояние. Например, поездка на 10 км ($x=10$) будет стоить:

$y = 25(10) + 150 = 250 + 150 = 400$ рублей.

Интересно, что линейное уравнение с двумя переменными можно преобразовать в линейную функцию. Вернемся к примеру с саженцами: $200x + 300y = 6000$. Выразим $y$ через $x$:

$300y = 6000 - 200x$
$y = \frac{6000 - 200x}{300}$
$y = 20 - \frac{2}{3}x$

Мы получили линейную функцию $y = -\frac{2}{3}x + 20$. Здесь $k = -\frac{2}{3}$ показывает, что при покупке каждой дополнительной яблони ($x$) количество груш ($y$), которое можно купить, уменьшается. Начальное значение $b=20$ означает, что если не покупать яблони ($x=0$), можно купить 20 груш.

Ответ: Линейная функция вида $y=kx+b$ моделирует процессы, в которых одна величина ($y$) зависит от другой ($x$) с постоянной скоростью изменения ($k$). Параметр $b$ представляет собой начальное значение величины $y$ (при $x=0$). Примерами являются зависимость стоимости услуги от ее объема (например, такси) или зависимость пройденного пути от времени при движении с постоянной скоростью.

Упорядоченные ряды данных

Ряд данных – это набор числовых значений, полученных в результате какого-либо статистического исследования или наблюдения. Например, ряд данных может представлять собой рост учеников одного класса, их оценки за контрольную работу или температуру воздуха в течение недели.

Упорядоченный ряд данных (также называемый ранжированным рядом) – это тот же ряд данных, но его элементы расположены в определенном порядке: либо по возрастанию (от наименьшего значения к наибольшему), либо по убыванию (от наибольшего к наименьше-му). Процесс создания упорядоченного ряда называется ранжированием.

Пример:

Исходный (неупорядоченный) ряд данных: $5, 2, 9, 4, 2, 8$.

Упорядоченный по возрастанию ряд: $2, 2, 4, 5, 8, 9$.

Упорядоченный по убыванию ряд: $9, 8, 5, 4, 2, 2$.

Упорядочивание данных является необходимым предварительным шагом для вычисления многих статистических показателей, таких как медиана, квартили и процентили. Оно также упрощает нахождение минимума, максимума и размаха выборки.

Ответ: Упорядоченный ряд данных — это числовой ряд, все элементы которого расставлены в порядке возрастания или убывания.

Медиана ряда данных

Медиана — это числовая характеристика, которая показывает "середину" набора данных. Если быть точнее, медиана — это такое число, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные по численности части. Половина элементов ряда будет не больше медианы, а другая половина — не меньше неё. Ключевое требование для нахождения медианы: ряд данных обязательно должен быть упорядочен.

Алгоритм нахождения медианы различается для рядов с четным и нечетным количеством элементов.

1. Ряд с нечетным числом элементов

Если в упорядоченном ряду содержится нечетное число элементов ($n$), то медианой является значение, стоящее ровно посередине. Его порядковый номер вычисляется по формуле: $N = \frac{n + 1}{2}$.

Пример: Дан упорядоченный ряд $3, 5, 8, 14, 15$.

Количество элементов $n=5$ (нечетное). Находим номер срединного элемента: $N = \frac{5 + 1}{2} = 3$. Третий элемент в ряду — это 8. Следовательно, медиана этого ряда равна 8.

2. Ряд с четным числом элементов

Если в упорядоченном ряду содержится четное число элементов ($n$), то у него нет одного центрального элемента. В этом случае медиана вычисляется как среднее арифметическое двух элементов, находящихся в середине ряда. Их порядковые номера: $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2} + 1$.

Пример: Дан упорядоченный ряд $2, 4, 6, 10, 12, 14$.

Количество элементов $n=6$ (четное). Находим номера двух центральных элементов: $N_1 = \frac{6}{2} = 3$ и $N_2 = \frac{6}{2} + 1 = 4$. Третий элемент — это 6, четвертый — 10. Находим их среднее арифметическое: $Me = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Медиана этого ряда равна 8.

Медиана часто является более предпочтительной мерой центральной тенденции, чем среднее арифметическое, когда в данных присутствуют выбросы (аномально большие или малые значения), поскольку она менее чувствительна к ним.

Ответ: Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Для ряда с нечетным числом элементов — это центральный элемент. Для ряда с четным числом элементов — это среднее арифметическое двух центральных элементов.

14.16 а) $\begin{cases} 4x - 7y = 33, \\ 2x + 5y = 25; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5y - 6x = 2, \\ 8x - 3y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x - 2y = 48, \\ 2x + 3y = 23; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x - 3y = -1, \\ 10x - 4y = 1. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - 7y = 33 \\ 2x + 5y = 25\end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$2x + 5y = 25 \quad | \cdot (-2)$
$-4x - 10y = -50$
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} 4x - 7y = 33 \\ -4x - 10y = -50\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(4x - 7y) + (-4x - 10y) = 33 + (-50)$
$-17y = -17$
$y = 1$
Подставим найденное значение $y = 1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2x + 5(1) = 25$
$2x + 5 = 25$
$2x = 20$
$x = 10$
Ответ: $(10; 1)$.

б) Дана система уравнений:$\begin{cases} 5y - 6x = 2 \\ 8x - 3y = 1\end{cases}$
Для удобства решения приведем уравнения к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке:$\begin{cases} -6x + 5y = 2 \\ 8x - 3y = 1\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$-6x + 5y = 2 \quad | \cdot 4 \quad \implies \quad -24x + 20y = 8$
$8x - 3y = 1 \quad | \cdot 3 \quad \implies \quad 24x - 9y = 3$
Получаем новую систему:$\begin{cases} -24x + 20y = 8 \\ 24x - 9y = 3\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(-24x + 20y) + (24x - 9y) = 8 + 3$
$11y = 11$
$y = 1$
Подставим $y=1$ во второе исходное уравнение:
$8x - 3(1) = 1$
$8x - 3 = 1$
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = 0.5$
Ответ: $(0.5; 1)$.

в) Дана система уравнений:$\begin{cases} 5x - 2y = 48 \\ 2x + 3y = 23\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$5x - 2y = 48 \quad | \cdot 3 \quad \implies \quad 15x - 6y = 144$
$2x + 3y = 23 \quad | \cdot 2 \quad \implies \quad 4x + 6y = 46$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 15x - 6y = 144 \\ 4x + 6y = 46\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(15x - 6y) + (4x + 6y) = 144 + 46$
$19x = 190$
$x = 10$
Подставим $x=10$ во второе исходное уравнение:
$2(10) + 3y = 23$
$20 + 3y = 23$
$3y = 3$
$y = 1$
Ответ: $(10; 1)$.

г) Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 10x - 4y = 1\end{cases}$
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$4x - 3y = -1 \quad | \cdot 4 \quad \implies \quad 16x - 12y = -4$
$10x - 4y = 1 \quad | \cdot (-3) \quad \implies \quad -30x + 12y = -3$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 16x - 12y = -4 \\ -30x + 12y = -3\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(16x - 12y) + (-30x + 12y) = -4 + (-3)$
$-14x = -7$
$x = \frac{-7}{-14} = \frac{1}{2} = 0.5$
Подставим $x=0.5$ в первое исходное уравнение:
$4(0.5) - 3y = -1$
$2 - 3y = -1$
$-3y = -3$
$y = 1$
Ответ: $(0.5; 1)$.

14.17 а) $\begin{cases} 6x + 5y = 1, \\ 2x - 3y = 33; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + 6y = 4, \\ 3x + 5y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x - 5y = -2, \\ 3x + 2y = -13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x - 7y = 1, \\ 2x + 3y = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 6x + 5y = 1, \\ 2x - 3y = 33. \end{cases} $
Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$ \begin{cases} 6x + 5y = 1, \\ -3(2x - 3y) = -3 \cdot 33; \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 5y = 1, \\ -6x + 9y = -99. \end{cases} $
Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:
$(6x + 5y) + (-6x + 9y) = 1 + (-99)$
$14y = -98$
$y = \frac{-98}{14}$
$y = -7$
Подставим найденное значение $y = -7$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:
$2x - 3(-7) = 33$
$2x + 21 = 33$
$2x = 33 - 21$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$
Проведем проверку, подставив найденные значения $x=6$ и $y=-7$ в исходные уравнения:
1) $6(6) + 5(-7) = 36 - 35 = 1$. Верно.
2) $2(6) - 3(-7) = 12 + 21 = 33$. Верно.

Ответ: $(6; -7)$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x + 6y = 4, \\ 3x + 5y = 1. \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе на $-5$, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными.
$ \begin{cases} 3(5x + 6y) = 3 \cdot 4, \\ -5(3x + 5y) = -5 \cdot 1; \end{cases} $
$ \begin{cases} 15x + 18y = 12, \\ -15x - 25y = -5. \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(15x + 18y) + (-15x - 25y) = 12 + (-5)$
$-7y = 7$
$y = -1$
Подставим значение $y = -1$ во второе исходное уравнение:
$3x + 5(-1) = 1$
$3x - 5 = 1$
$3x = 1 + 5$
$3x = 6$
$x = 2$
Проверка:
1) $5(2) + 6(-1) = 10 - 6 = 4$. Верно.
2) $3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1$. Верно.

Ответ: $(2; -1)$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 5y = -2, \\ 3x + 2y = -13. \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $2$, а второе на $5$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.
$ \begin{cases} 2(4x - 5y) = 2 \cdot (-2), \\ 5(3x + 2y) = 5 \cdot (-13); \end{cases} $
$ \begin{cases} 8x - 10y = -4, \\ 15x + 10y = -65. \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(8x - 10y) + (15x + 10y) = -4 + (-65)$
$23x = -69$
$x = \frac{-69}{23}$
$x = -3$
Подставим $x = -3$ во второе исходное уравнение:
$3(-3) + 2y = -13$
$-9 + 2y = -13$
$2y = -13 + 9$
$2y = -4$
$y = -2$
Проверка:
1) $4(-3) - 5(-2) = -12 + 10 = -2$. Верно.
2) $3(-3) + 2(-2) = -9 - 4 = -13$. Верно.

Ответ: $(-3; -2)$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 7y = 1, \\ 2x + 3y = 16. \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $2$, а второе на $-3$.
$ \begin{cases} 2(3x - 7y) = 2 \cdot 1, \\ -3(2x + 3y) = -3 \cdot 16; \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x - 14y = 2, \\ -6x - 9y = -48. \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x - 14y) + (-6x - 9y) = 2 + (-48)$
$-23y = -46$
$y = \frac{-46}{-23}$
$y = 2$
Подставим $y = 2$ во второе исходное уравнение:
$2x + 3(2) = 16$
$2x + 6 = 16$
$2x = 10$
$x = 5$
Проверка:
1) $3(5) - 7(2) = 15 - 14 = 1$. Верно.
2) $2(5) + 3(2) = 10 + 6 = 16$. Верно.

Ответ: $(5; 2)$.

14.18 a) $\begin{cases} 4(x - y) = -2, \\ 3x - 7y = -2,5 - 2(x + y); \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2(x + y) = 8, \\ 14 - 3(x - y) = 5y - x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3(x + y) = 6, \\ 6 + 5(x - y) = 8x - 2y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5(x - y) = 10, \\ 3x - 7y = 20 - (x + 3y). \end{cases}$

а) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}4(x - y) = -2, \\3x - 7y = -2,5 - 2(x + y)\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$4(x - y) = -2$
$4x - 4y = -2$
Разделим обе части на 2:
$2x - 2y = -1$
Второе уравнение:
$3x - 7y = -2,5 - 2(x + y)$
$3x - 7y = -2,5 - 2x - 2y$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы оставим в правой:
$3x + 2x - 7y + 2y = -2,5$
$5x - 5y = -2,5$
Разделим обе части на 5:
$x - y = -0,5$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}2x - 2y = -1 \\x - y = -0,5\end{cases}$
Если мы разделим первое уравнение на 2, мы получим $x - y = -0,5$, что полностью совпадает со вторым уравнением. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной уравнением $x - y = -0,5$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = x + 0,5$
Ответ: Бесконечное множество решений вида $(x; x + 0,5)$, где $x$ — любое число.

б) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}2(x + y) = 8, \\14 - 3(x - y) = 5y - x\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$2(x + y) = 8$
Разделим обе части на 2:
$x + y = 4$
Второе уравнение:
$14 - 3(x - y) = 5y - x$
$14 - 3x + 3y = 5y - x$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы — в правую:
$-3x + x + 3y - 5y = -14$
$-2x - 2y = -14$
Разделим обе части на -2:
$x + y = 7$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}x + y = 4 \\x + y = 7\end{cases}$
Система содержит противоречивые уравнения ($4 \neq 7$), следовательно, она не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

в) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}3(x + y) = 6, \\6 + 5(x - y) = 8x - 2y\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$3(x + y) = 6$
Разделим обе части на 3:
$x + y = 2$
Второе уравнение:
$6 + 5(x - y) = 8x - 2y$
$6 + 5x - 5y = 8x - 2y$
Перенесем все члены с переменными в левую часть, а константы — в правую:
$5x - 8x - 5y + 2y = -6$
$-3x - 3y = -6$
Разделим обе части на -3:
$x + y = 2$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}x + y = 2 \\x + y = 2\end{cases}$
Оба уравнения системы идентичны. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной уравнением $x + y = 2$.
Выразим $y$ через $x$:
$y = 2 - x$
Ответ: Бесконечное множество решений вида $(x; 2 - x)$, где $x$ — любое число.

г) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}5(x - y) = 10, \\3x - 7y = 20 - (x + 3y)\end{cases}$
Упростим каждое уравнение системы.
Первое уравнение:
$5(x - y) = 10$
Разделим обе части на 5:
$x - y = 2$
Второе уравнение:
$3x - 7y = 20 - (x + 3y)$
$3x - 7y = 20 - x - 3y$
Перенесем все члены с переменными в левую часть:
$3x + x - 7y + 3y = 20$
$4x - 4y = 20$
Разделим обе части на 4:
$x - y = 5$
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases}x - y = 2 \\x - y = 5\end{cases}$
Система содержит противоречивые уравнения ($2 \neq 5$), следовательно, она не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

14.19 a) $\begin{cases} 2 - 3x = 2(1 - y), \\ 4(x + y) = x - 1.5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 3 = 8x - 3(2y - 4), \\ 2(2x - 3y) - 4x = 2y - 8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 3(2y + 1) = 15, \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4y + 20 = 2(3x - 4y) - 4, \\ 16 - (5x + 2y) = 3x - 2y. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2 - 3x = 2(1 - y), \\ 4(x + y) = x - 1.5; \end{cases} $

1. Упростим каждое уравнение системы. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$2 - 3x = 2 - 2y$

$-3x = -2y$

$3x = 2y$

Второе уравнение:

$4x + 4y = x - 1.5$

$4x - x + 4y = -1.5$

$3x + 4y = -1.5$

Получим упрощенную систему:

$ \begin{cases} 3x = 2y, \\ 3x + 4y = -1.5; \end{cases} $

2. Решим полученную систему методом подстановки. Подставим выражение $3x$ из первого уравнения во второе:

$(2y) + 4y = -1.5$

$6y = -1.5$

$y = -1.5 / 6 = -1/4 = -0.25$

3. Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в первое упрощенное уравнение $3x = 2y$:

$3x = 2 \cdot (-0.25)$

$3x = -0.5$

$x = -0.5 / 3 = - (1/2) / 3 = -1/6$

Ответ: $(-1/6; -0.25)$

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 6x + 3 = 8x - 3(2y - 4), \\ 2(2x - 3y) - 4x = 2y - 8; \end{cases} $

1. Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$6x + 3 = 8x - 6y + 12$

$6y = 8x - 6x + 12 - 3$

$6y = 2x + 9$

Второе уравнение:

$4x - 6y - 4x = 2y - 8$

$-6y = 2y - 8$

$8 = 8y$

$y = 1$

2. Мы сразу получили значение $y$ из второго уравнения. Подставим $y = 1$ в упрощенное первое уравнение $6y = 2x + 9$:

$6 \cdot 1 = 2x + 9$

$6 = 2x + 9$

$2x = 6 - 9$

$2x = -3$

$x = -3/2 = -1.5$

Ответ: $(-1.5; 1)$

в)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3(2y + 1) = 15, \\ 3(x + 1) + 3y = 2y - 2; \end{cases} $

1. Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$2x - 6y - 3 = 15$

$2x - 6y = 18$

Разделим обе части на 2: $x - 3y = 9$

Второе уравнение:

$3x + 3 + 3y = 2y - 2$

$3x + 3y - 2y = -2 - 3$

$3x + y = -5$

Получим упрощенную систему:

$ \begin{cases} x - 3y = 9, \\ 3x + y = -5; \end{cases} $

2. Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 9 + 3y$.

3. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(9 + 3y) + y = -5$

$27 + 9y + y = -5$

$10y = -5 - 27$

$10y = -32$

$y = -3.2$

4. Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 9 + 3(-3.2) = 9 - 9.6 = -0.6$

Ответ: $(-0.6; -3.2)$

г)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 4y + 20 = 2(3x - 4y) - 4, \\ 16 - (5x + 2y) = 3x - 2y; \end{cases} $

1. Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$4y + 20 = 6x - 8y - 4$

$4y + 8y - 6x = -4 - 20$

$12y - 6x = -24$

Разделим обе части на 6: $2y - x = -4$, или $x - 2y = 4$.

Второе уравнение:

$16 - 5x - 2y = 3x - 2y$

Слагаемые $-2y$ в обеих частях взаимно уничтожаются:

$16 - 5x = 3x$

$16 = 3x + 5x$

$16 = 8x$

$x = 2$

2. Мы сразу получили значение $x$ из второго уравнения. Подставим $x = 2$ в упрощенное первое уравнение $x - 2y = 4$:

$2 - 2y = 4$

$-2y = 4 - 2$

$-2y = 2$

$y = -1$

Ответ: $(2; -1)$

14.20 а) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5, \\ 5x - 11y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4, \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{4} = -2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x + 7y = 1, \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{6} = -\frac{1}{2}. \end{cases}$

а) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{1}{3} \end{cases} $$ Для того чтобы избавиться от дробей, умножим каждое уравнение на наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Для обоих уравнений НОК(2, 3) = 6.
Умножим первое уравнение на 6: $6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) = 6 \cdot 3$
$3x + 2y = 18$
Умножим второе уравнение на 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{3}$
$2x + 3y = 2$
Теперь мы имеем эквивалентную систему без дробей: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными. $$ \begin{cases} 3(3x + 2y) = 3 \cdot 18 \\ -2(2x + 3y) = -2 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 9x + 6y = 54 \\ -4x - 6y = -4 \end{cases} $$ Сложим полученные уравнения: $(9x + 6y) + (-4x - 6y) = 54 + (-4)$
$5x = 50$
$x = 10$
Подставим найденное значение $x=10$ в первое упрощенное уравнение $3x + 2y = 18$: $3(10) + 2y = 18$
$30 + 2y = 18$
$2y = 18 - 30$
$2y = -12$
$y = -6$
Ответ: $x=10, y=-6$.

б) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5 \\ 5x - 11y = 1 \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, избавившись от дробей. Умножим его на НОК(3, 2) = 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2}) = 6 \cdot 5$
$2x + 3y = 30$
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 30 \\ 5x - 11y = 1 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы исключить переменную $x$: $$ \begin{cases} 5(2x + 3y) = 5 \cdot 30 \\ -2(5x - 11y) = -2 \cdot 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 15y = 150 \\ -10x + 22y = -2 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(10x + 15y) + (-10x + 22y) = 150 - 2$
$37y = 148$
$y = \frac{148}{37}$
$y = 4$
Подставим $y=4$ в уравнение $2x + 3y = 30$: $2x + 3(4) = 30$
$2x + 12 = 30$
$2x = 30 - 12$
$2x = 18$
$x = 9$
Ответ: $x=9, y=4$.

в) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{4} = -2 \end{cases} $$ Избавимся от дробей в каждом уравнении. Умножим первое уравнение на НОК(3, 2) = 6: $6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{y}{2}) = 6 \cdot (-4)$
$2x - 3y = -24$
Умножим второе уравнение на НОК(2, 4) = 4: $4 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{y}{4}) = 4 \cdot (-2)$
$2x + y = -8$
Получили систему: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -24 \\ 2x + y = -8 \end{cases} $$ Решим систему методом вычитания, так как коэффициенты при $x$ одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого: $(2x - 3y) - (2x + y) = -24 - (-8)$
$2x - 3y - 2x - y = -24 + 8$
$-4y = -16$
$y = 4$
Подставим $y=4$ во второе упрощенное уравнение $2x + y = -8$: $2x + 4 = -8$
$2x = -8 - 4$
$2x = -12$
$x = -6$
Ответ: $x=-6, y=4$.

г) Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{6} = -\frac{1}{2} \end{cases} $$ Упростим второе уравнение, умножив его на НОК(5, 6, 2) = 30: $30 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{6}) = 30 \cdot (-\frac{1}{2})$
$6x + 5y = -15$
Система принимает вид: $$ \begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ 6x + 5y = -15 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2: $$ \begin{cases} 3(4x + 7y) = 3 \cdot 1 \\ -2(6x + 5y) = -2 \cdot (-15) \end{cases} \implies \begin{cases} 12x + 21y = 3 \\ -12x - 10y = 30 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(12x + 21y) + (-12x - 10y) = 3 + 30$
$11y = 33$
$y = 3$
Подставим $y=3$ в первое уравнение $4x + 7y = 1$: $4x + 7(3) = 1$
$4x + 21 = 1$
$4x = 1 - 21$
$4x = -20$
$x = -5$
Ответ: $x=-5, y=3$.

14.21 a) $\begin{cases} 6y - 5x - 1 = 0, \\ \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 1}{2} = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 2y}{5} + \frac{3x - y}{3} = 5, \\ 2x - 3y = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{3x + 2y}{5} + \frac{x - 3y}{6} = 3, \\ 2x + 7y + 43 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 7x - 10y = 5, \\ \frac{4x + 1}{3} - \frac{5x - 3y}{4} = 3. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6y - 5x - 1 = 0 \\ \frac{x-1}{3} + \frac{y+1}{2} = 10 \end{cases} $

Сначала упростим каждое уравнение, приведя их к стандартному виду $Ax + By = C$.

Первое уравнение: $6y - 5x - 1 = 0$ можно переписать как $-5x + 6y = 1$.

Для второго уравнения, умножим обе его части на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на 6:

$6 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) + 6 \cdot \left(\frac{y+1}{2}\right) = 10 \cdot 6$

$2(x-1) + 3(y+1) = 60$

$2x - 2 + 3y + 3 = 60$

$2x + 3y + 1 = 60$

$2x + 3y = 59$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} -5x + 6y = 1 \\ 2x + 3y = 59 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$2x + 3y = 59 \quad|\cdot(-2) \quad \implies \quad -4x - 6y = -118$

Теперь сложим первое уравнение и преобразованное второе:

$(-5x + 6y) + (-4x - 6y) = 1 + (-118)$

$-9x = -117$

$x = \frac{-117}{-9} = 13$

Подставим значение $x=13$ во второе упрощенное уравнение $2x + 3y = 59$:

$2(13) + 3y = 59$

$26 + 3y = 59$

$3y = 59 - 26$

$3y = 33$

$y = 11$

Решение системы: $(13; 11)$.

Ответ: (13; 11).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+2y}{5} + \frac{3x-y}{3} = 5 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив его на наименьший общий знаменатель 15:

$15 \cdot \left(\frac{x+2y}{5}\right) + 15 \cdot \left(\frac{3x-y}{3}\right) = 5 \cdot 15$

$3(x+2y) + 5(3x-y) = 75$

$3x + 6y + 15x - 5y = 75$

$18x + y = 75$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 18x + y = 75 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 75 - 18x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x - 3(75 - 18x) = -1$

$2x - 225 + 54x = -1$

$56x = 224$

$x = \frac{224}{56} = 4$

Теперь найдем $y$, подставив $x=4$ в выражение для $y$:

$y = 75 - 18(4)$

$y = 75 - 72 = 3$

Решение системы: $(4; 3)$.

Ответ: (4; 3).

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3x+2y}{5} + \frac{x-3y}{6} = 3 \\ 2x + 7y + 43 = 0 \end{cases} $

Упростим оба уравнения. Для первого уравнения, умножим обе части на 30 (НОК 5 и 6):

$6(3x+2y) + 5(x-3y) = 3 \cdot 30$

$18x + 12y + 5x - 15y = 90$

$23x - 3y = 90$

Второе уравнение: $2x + 7y + 43 = 0 \implies 2x + 7y = -43$.

Система в упрощенном виде:

$ \begin{cases} 23x - 3y = 90 \\ 2x + 7y = -43 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы исключить $y$:

$7 \cdot (23x - 3y) = 7 \cdot 90 \implies 161x - 21y = 630$

$3 \cdot (2x + 7y) = 3 \cdot (-43) \implies 6x + 21y = -129$

Сложим полученные уравнения:

$(161x - 21y) + (6x + 21y) = 630 - 129$

$167x = 501$

$x = \frac{501}{167} = 3$

Подставим $x=3$ во второе упрощенное уравнение $2x + 7y = -43$:

$2(3) + 7y = -43$

$6 + 7y = -43$

$7y = -49$

$y = -7$

Решение системы: $(3; -7)$.

Ответ: (3; -7).

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 10y = 5 \\ \frac{4x+1}{3} - \frac{5x-3y}{4} = 3 \end{cases} $

Первое уравнение уже в стандартном виде. Упростим второе уравнение, умножив его на 12 (НОК 3 и 4):

$12 \cdot \left(\frac{4x+1}{3}\right) - 12 \cdot \left(\frac{5x-3y}{4}\right) = 3 \cdot 12$

$4(4x+1) - 3(5x-3y) = 36$

$16x + 4 - 15x + 9y = 36$

$x + 9y = 32$

Система в упрощенном виде:

$ \begin{cases} 7x - 10y = 5 \\ x + 9y = 32 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = 32 - 9y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$7(32 - 9y) - 10y = 5$

$224 - 63y - 10y = 5$

$224 - 73y = 5$

$-73y = 5 - 224$

$-73y = -219$

$y = \frac{-219}{-73} = 3$

Теперь найдем $x$, подставив $y=3$ в выражение для $x$:

$x = 32 - 9(3)$

$x = 32 - 27 = 5$

Решение системы: $(5; 3)$.

Ответ: (5; 3).