Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13.18 К каждому из следующих уравнений подберите второе уравнение так, чтобы полученная система не имела решений:

а) $7x - 5y = 3$;

б) $6x + 11y = 8$;

в) $45x - 31y = 13$;

г) $54x - 23y = 40$.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этой пропорции не удовлетворяют. Алгебраически это условие записывается так: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные, но не совпадающие прямые. Чтобы для данного уравнения подобрать второе так, чтобы система не имела решений, можно умножить его левую часть на любое ненулевое число $k$, а правую часть выбрать так, чтобы она не была равна произведению исходной правой части на то же число $k$.

а) Дано уравнение $7x - 5y = 3$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=2$. Получим: $2 \cdot (7x - 5y) = 14x - 10y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$. Выберем любое другое число, например, 1. Получаем второе уравнение: $14x - 10y = 1$. Для системы $ \begin{cases} 7x - 5y = 3 \\ 14x - 10y = 1 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{7}{14} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} $, но $ \frac{3}{1} = 3 $. Так как $ \frac{1}{2} \neq 3 $, система не имеет решений.

Ответ: $14x - 10y = 1$.

б) Дано уравнение $6x + 11y = 8$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=3$. Получим: $3 \cdot (6x + 11y) = 18x + 33y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24$. Выберем любое другое число, например, 8. Получаем второе уравнение: $18x + 33y = 8$. Для системы $ \begin{cases} 6x + 11y = 8 \\ 18x + 33y = 8 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{6}{18} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3} $, но $ \frac{8}{8} = 1 $. Так как $ \frac{1}{3} \neq 1 $, система не имеет решений.

Ответ: $18x + 33y = 8$.

в) Дано уравнение $45x - 31y = 13$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=2$. Получим: $2 \cdot (45x - 31y) = 90x - 62y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 13 = 2 \cdot 13 = 26$. Выберем любое другое число, например, 0. Получаем второе уравнение: $90x - 62y = 0$. Для системы $ \begin{cases} 45x - 31y = 13 \\ 90x - 62y = 0 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{45}{90} = \frac{-31}{-62} = \frac{1}{2} $, но $ \frac{13}{0} $ — отношение не определено и не равно $ \frac{1}{2} $. Система не имеет решений.

Ответ: $90x - 62y = 0$.

г) Дано уравнение $54x - 23y = 40$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=-1$. Получим: $-1 \cdot (54x - 23y) = -54x + 23y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 40 = -1 \cdot 40 = -40$. Выберем любое другое число, например, 40. Получаем второе уравнение: $-54x + 23y = 40$. Для системы $ \begin{cases} 54x - 23y = 40 \\ -54x + 23y = 40 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{54}{-54} = \frac{-23}{23} = -1 $, но $ \frac{40}{40} = 1 $. Так как $ -1 \neq 1 $, система не имеет решений.

Ответ: $-54x + 23y = 40$.

13.19 Найдите значение коэффициента $a$ в уравнении $ax + 8y = 20$, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел:

а) $(2; 1);$

б) $(-3; -2).$

Чтобы найти значение коэффициента $a$, нужно подставить в уравнение $ax + 8y = 20$ значения $x$ и $y$ из указанной пары чисел, которая является решением уравнения.

а) Дана пара чисел $(2; 1)$, где $x = 2$ и $y = 1$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$a \cdot 2 + 8 \cdot 1 = 20$
$2a + 8 = 20$
Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Перенесем 8 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2a = 20 - 8$
$2a = 12$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a = \frac{12}{2}$
$a = 6$
Ответ: 6

б) Дана пара чисел $(-3; -2)$, где $x = -3$ и $y = -2$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$a \cdot (-3) + 8 \cdot (-2) = 20$
$-3a - 16 = 20$
Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Перенесем -16 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-3a = 20 + 16$
$-3a = 36$
Разделим обе части уравнения на -3:
$a = \frac{36}{-3}$
$a = -12$
Ответ: -12

13.20 а) Дана система уравнений $\begin{cases} x + ay = 35, \\ bx + 2y = 27. \end{cases}$ Известно, что пара чисел (5; 6) является её решением. Найдите значения a и b.

б) Дана система уравнений $\begin{cases} ax - 3y = 7, \\ 5x + by = 26. \end{cases}$ Известно, что пара чисел (10; 5) является её решением. Найдите значения a и b.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + ay = 35, \\ bx + 2y = 27. \end{cases} $$

По условию, пара чисел $(5; 6)$ является решением данной системы. Это означает, что если подставить $x = 5$ и $y = 6$ в оба уравнения, то получатся верные числовые равенства. Используем это свойство для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$.

1. Подставим значения $x = 5$ и $y = 6$ в первое уравнение системы:

$5 + a \cdot 6 = 35$

Теперь решим получившееся уравнение относительно $a$:

$6a = 35 - 5$

$6a = 30$

$a = \frac{30}{6}$

$a = 5$

2. Подставим значения $x = 5$ и $y = 6$ во второе уравнение системы:

$b \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 27$

Решим получившееся уравнение относительно $b$:

$5b + 12 = 27$

$5b = 27 - 12$

$5b = 15$

$b = \frac{15}{5}$

$b = 3$

Таким образом, значения коэффициентов равны $a = 5$ и $b = 3$.

Ответ: $a = 5, b = 3$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} ax - 3y = 7, \\ 5x + by = 26. \end{cases} $$

По условию, пара чисел $(10; 5)$ является решением данной системы. Это означает, что если подставить $x = 10$ и $y = 5$ в оба уравнения, то получатся верные числовые равенства.

1. Подставим значения $x = 10$ и $y = 5$ в первое уравнение системы:

$a \cdot 10 - 3 \cdot 5 = 7$

Решим это уравнение относительно $a$:

$10a - 15 = 7$

$10a = 7 + 15$

$10a = 22$

$a = \frac{22}{10}$

$a = 2.2$

2. Подставим значения $x = 10$ и $y = 5$ во второе уравнение системы:

$5 \cdot 10 + b \cdot 5 = 26$

Решим это уравнение относительно $b$:

$50 + 5b = 26$

$5b = 26 - 50$

$5b = -24$

$b = \frac{-24}{5}$

$b = -4.8$

Таким образом, значения коэффициентов равны $a = 2.2$ и $b = -4.8$.

Ответ: $a = 2.2, b = -4.8$.

13.21 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} ax + 3y = 11, \\ 5x + 2y = 12, \end{cases}$ если известно, что первое уравнение этой системы обращается в верное равенство при $x = 5$ и $y = -3$.

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} ax + 3y = 11, \\ 5x + 2y = 12 \end{cases} $$ По условию, первое уравнение $ax + 3y = 11$ обращается в верное равенство при $x = 5$ и $y = -3$.

1. Найдем значение коэффициента a.

Для этого подставим известные значения $x=5$ и $y=-3$ в первое уравнение системы: $$a \cdot 5 + 3 \cdot (-3) = 11$$ $$5a - 9 = 11$$ $$5a = 11 + 9$$ $$5a = 20$$ $$a = \frac{20}{5}$$ $$a = 4$$

2. Решим систему уравнений графически.

После нахождения коэффициента $a$ система приобретает вид: $$ \begin{cases} 4x + 3y = 11, \\ 5x + 2y = 12 \end{cases} $$ Для решения системы графическим методом необходимо построить графики обоих уравнений и найти их точку пересечения. Оба уравнения являются линейными, следовательно, их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Построение графика уравнения $4x + 3y = 11$.
Выразим $y$ через $x$: $$3y = 11 - 4x$$ $$y = \frac{11 - 4x}{3}$$ Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• При $x = 2$, $y = \frac{11 - 4 \cdot 2}{3} = \frac{11 - 8}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.
• При $x = 5$, $y = \frac{11 - 4 \cdot 5}{3} = \frac{11 - 20}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. Получаем точку $(5; -3)$.

Построение графика уравнения $5x + 2y = 12$.
Выразим $y$ через $x$: $$2y = 12 - 5x$$ $$y = \frac{12 - 5x}{2}$$ Найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• При $x = 0$, $y = \frac{12 - 5 \cdot 0}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Получаем точку $(0; 6)$.
• При $x = 2$, $y = \frac{12 - 5 \cdot 2}{2} = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Нахождение решения.
Построим обе прямые в одной системе координат. Прямая $4x + 3y = 11$ проходит через точки $(2; 1)$ и $(5; -3)$. Прямая $5x + 2y = 12$ проходит через точки $(0; 6)$ и $(2; 1)$.
Обе прямые пересекаются в точке $(2; 1)$. Координаты этой точки и являются решением системы уравнений.

Выполним проверку, подставив $x=2$ и $y=1$ в уравнения системы:
$4(2) + 3(1) = 8 + 3 = 11$ (верно).
$5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12$ (верно).

Ответ: $(2; 1)$.

14.1 Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y = 9x + 5, \\ y = -6x - 25; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y = 13x - 7, \\ y = 23x - 6; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = -8x - 15, \\ y = 5x + 24; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = -11x + 9, \\ y = -21x + 11. \end{cases} $

а)Дана система уравнений:$\begin{cases}y = 9x + 5, \\y = -6x - 25;\end{cases}$
В обоих уравнениях переменная $y$ выражена через $x$. Это позволяет нам приравнять правые части уравнений (метод подстановки):
$9x + 5 = -6x - 25$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а константы — в правую:
$9x + 6x = -25 - 5$
$15x = -30$
$x = \frac{-30}{15}$
$x = -2$
Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение:
$y = 9x + 5$
$y = 9 \cdot (-2) + 5$
$y = -18 + 5$
$y = -13$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(-2; -13)$.
Ответ: $(-2; -13)$.

б)Дана система уравнений:$\begin{cases}y = 13x - 7, \\y = 23x - 6;\end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$13x - 7 = 23x - 6$
Решим уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$-7 + 6 = 23x - 13x$
$-1 = 10x$
$x = -\frac{1}{10}$
$x = -0.1$
Подставим значение $x = -0.1$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 13x - 7$
$y = 13 \cdot (-0.1) - 7$
$y = -1.3 - 7$
$y = -8.3$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(-0.1; -8.3)$.
Ответ: $(-0.1; -8.3)$.

в)Дана система уравнений:$\begin{cases}y = -8x - 15, \\y = 5x + 24;\end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$-8x - 15 = 5x + 24$
Решим уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую:
$-15 - 24 = 5x + 8x$
$-39 = 13x$
$x = \frac{-39}{13}$
$x = -3$
Подставим значение $x = -3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 5x + 24$
$y = 5 \cdot (-3) + 24$
$y = -15 + 24$
$y = 9$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(-3; 9)$.
Ответ: $(-3; 9)$.

г)Дана система уравнений:$\begin{cases}y = -11x + 9, \\y = -21x + 11.\end{cases}$
Приравняем правые части уравнений:
$-11x + 9 = -21x + 11$
Решим уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$-11x + 21x = 11 - 9$
$10x = 2$
$x = \frac{2}{10}$
$x = 0.2$
Подставим значение $x = 0.2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = -11x + 9$
$y = -11 \cdot (0.2) + 9$
$y = -2.2 + 9$
$y = 6.8$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(0.2; 6.8)$.
Ответ: $(0.2; 6.8)$.