Номер 13.18, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 13. Основные понятия. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 2 - номер 13.18, страница 70.

Условие.

13.18 К каждому из следующих уравнений подберите второе уравнение так, чтобы полученная система не имела решений:

а) $7x - 5y = 3$;

б) $6x + 11y = 8$;

в) $45x - 31y = 13$;

г) $54x - 23y = 40$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этой пропорции не удовлетворяют. Алгебраически это условие записывается так: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные, но не совпадающие прямые. Чтобы для данного уравнения подобрать второе так, чтобы система не имела решений, можно умножить его левую часть на любое ненулевое число $k$, а правую часть выбрать так, чтобы она не была равна произведению исходной правой части на то же число $k$.

а) Дано уравнение $7x - 5y = 3$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=2$. Получим: $2 \cdot (7x - 5y) = 14x - 10y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$. Выберем любое другое число, например, 1. Получаем второе уравнение: $14x - 10y = 1$. Для системы $ \begin{cases} 7x - 5y = 3 \\ 14x - 10y = 1 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{7}{14} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} $, но $ \frac{3}{1} = 3 $. Так как $ \frac{1}{2} \neq 3 $, система не имеет решений.

Ответ: $14x - 10y = 1$.

б) Дано уравнение $6x + 11y = 8$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=3$. Получим: $3 \cdot (6x + 11y) = 18x + 33y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24$. Выберем любое другое число, например, 8. Получаем второе уравнение: $18x + 33y = 8$. Для системы $ \begin{cases} 6x + 11y = 8 \\ 18x + 33y = 8 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{6}{18} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3} $, но $ \frac{8}{8} = 1 $. Так как $ \frac{1}{3} \neq 1 $, система не имеет решений.

Ответ: $18x + 33y = 8$.

в) Дано уравнение $45x - 31y = 13$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=2$. Получим: $2 \cdot (45x - 31y) = 90x - 62y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 13 = 2 \cdot 13 = 26$. Выберем любое другое число, например, 0. Получаем второе уравнение: $90x - 62y = 0$. Для системы $ \begin{cases} 45x - 31y = 13 \\ 90x - 62y = 0 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{45}{90} = \frac{-31}{-62} = \frac{1}{2} $, но $ \frac{13}{0} $ — отношение не определено и не равно $ \frac{1}{2} $. Система не имеет решений.

Ответ: $90x - 62y = 0$.

г) Дано уравнение $54x - 23y = 40$.

Умножим левую часть уравнения на коэффициент $k=-1$. Получим: $-1 \cdot (54x - 23y) = -54x + 23y$. Правая часть нового уравнения не должна быть равна $k \cdot 40 = -1 \cdot 40 = -40$. Выберем любое другое число, например, 40. Получаем второе уравнение: $-54x + 23y = 40$. Для системы $ \begin{cases} 54x - 23y = 40 \\ -54x + 23y = 40 \end{cases} $ выполняется условие: $ \frac{54}{-54} = \frac{-23}{23} = -1 $, но $ \frac{40}{40} = 1 $. Так как $ -1 \neq 1 $, система не имеет решений.

Ответ: $-54x + 23y = 40$.