Номер 13.11, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите графически систему уравнений:

13.11 а) $\begin{cases} y = x - 1, \\ x + 3y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ x + 2y = -4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -2x, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 3y = 8, \\ 2x - 3y = 10. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков и будут решением системы.

1. Построим график первого уравнения: $y = x - 1$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
При $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.
Проведем прямую через эти две точки.

2. Построим график второго уравнения: $x + 3y = 9$.
Это также линейная функция. Для удобства построения выразим $y$ через $x$:
$3y = 9 - x$
$y = -\frac{1}{3}x + 3$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
При $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.
Проведем прямую через эти две точки.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$.

б)

Решим систему графически. Для этого построим графики уравнений $3x - 2y = 12$ и $x + 2y = -4$.

1. Построим график уравнения $3x - 2y = 12$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 12 - 3x$
$y = \frac{3}{2}x - 6$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 0$, $y = \frac{3}{2} \cdot 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$.
При $x = 4$, $y = \frac{3}{2} \cdot 4 - 6 = 6 - 6 = 0$. Точка $(4, 0)$.

2. Построим график уравнения $x + 2y = -4$.
Выразим $y$ через $x$:
$2y = -x - 4$
$y = -\frac{1}{2}x - 2$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(2, -3)$.

Построив графики, найдем их точку пересечения. Координаты этой точки — $(2, -3)$.

Ответ: $(2, -3)$.

в)

Решим систему графически, построив графики уравнений $y = -2x$ и $x - 2y = 0$.

1. Построим график уравнения $y = -2x$.
Это прямая пропорциональность, ее график — прямая, проходящая через начало координат.
Точка 1: $(0, 0)$.
Найдем еще одну точку: при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. Точка 2: $(1, -2)$.

2. Построим график уравнения $x - 2y = 0$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = -x$
$y = \frac{1}{2}x$
Это также прямая пропорциональность, проходящая через начало координат.
Точка 1: $(0, 0)$.
Найдем еще одну точку: при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Точка 2: $(2, 1)$.

Оба графика являются прямыми, проходящими через начало координат $(0, 0)$. Следовательно, это и есть их точка пересечения.

Ответ: $(0, 0)$.

г)

Решим систему графически, построив графики уравнений $x - 3y = 8$ и $2x - 3y = 10$.

1. Построим график уравнения $x - 3y = 8$.
Выразим $y$ через $x$:
$-3y = 8 - x$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{8}{3}$
Найдем координаты двух точек. Чтобы избежать дробей, подберем удобные значения $x$:
При $x = -1$, $y = \frac{1}{3}(-1) - \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} = -3$. Точка $(-1, -3)$.
При $x = 2$, $y = \frac{1}{3}(2) - \frac{8}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(2, -2)$.

2. Построим график уравнения $2x - 3y = 10$.
Выразим $y$ через $x$:
$-3y = 10 - 2x$
$y = \frac{2}{3}x - \frac{10}{3}$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 2$, $y = \frac{2}{3}(2) - \frac{10}{3} = \frac{4 - 10}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(2, -2)$.
При $x = 5$, $y = \frac{2}{3}(5) - \frac{10}{3} = \frac{10 - 10}{3} = 0$. Точка $(5, 0)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке с координатами $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.