Номер 13.13, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 13. Основные понятия - номер 13.13, страница 69.

Условие.

Решите графически систему уравнений:

13.13 а) $\begin{cases} x + y = -5 \\ 3x - y = -7 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = 7 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ y - x = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = -2 \\ 2x - y = -4 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения системы в одной координатной плоскости и найти координаты точки их пересечения. Эта точка и будет решением системы.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -5, \\ 3x - y = -7; \end{cases}$

Для построения графиков выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x + y = -5$ получаем $y = -x - 5$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их:

• при $x=0$, $y = -0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• при $x=-5$, $y = -(-5) - 5 = 0$. Точка $(-5; 0)$.

2. Для второго уравнения $3x - y = -7$ получаем $y = 3x + 7$. Это также линейная функция. Найдем две точки для ее графика:

• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0; 7)$.
• при $x=-2$, $y = 3 \cdot (-2) + 7 = -6 + 7 = 1$. Точка $(-2; 1)$.

3. Построим графики этих двух прямых в одной системе координат. Прямая $y = -x - 5$ проходит через точки $(0; -5)$ и $(-5; 0)$. Прямая $y = 3x + 7$ проходит через точки $(0; 7)$ и $(-2; 1)$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(-3; -2)$.

Проверка: подставим найденные значения в исходную систему.

$-3 + (-2) = -5$ (Верно)

$3(-3) - (-2) = -9 + 2 = -7$ (Верно)

Ответ: $(-3; -2)$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 7, \\ 3x + 2y = 5; \end{cases}$

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x - 2y = 7$ получаем $-2y = -x + 7$, то есть $y = \frac{1}{2}x - 3.5$. Найдем две точки:

• при $x=1$, $y = \frac{1}{2}(1) - 3.5 = 0.5 - 3.5 = -3$. Точка $(1; -3)$.
• при $x=7$, $y = \frac{1}{2}(7) - 3.5 = 3.5 - 3.5 = 0$. Точка $(7; 0)$.

2. Для второго уравнения $3x + 2y = 5$ получаем $2y = -3x + 5$, то есть $y = -\frac{3}{2}x + 2.5$. Найдем две точки:

• при $x=1$, $y = -\frac{3}{2}(1) + 2.5 = -1.5 + 2.5 = 1$. Точка $(1; 1)$.
• при $x=3$, $y = -\frac{3}{2}(3) + 2.5 = -4.5 + 2.5 = -2$. Точка $(3; -2)$.

3. Построим графики. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 3.5$ проходит через точки $(1; -3)$ и $(7; 0)$. Прямая $y = -\frac{3}{2}x + 2.5$ проходит через точки $(1; 1)$ и $(3; -2)$.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3; -2)$.

Проверка:

$3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7$ (Верно)

$3(3) + 2(-2) = 9 - 4 = 5$ (Верно)

Ответ: $(3; -2)$

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = 1; \end{cases}$

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x - 2y = 1$ получаем $-2y = -x + 1$, то есть $y = \frac{1}{2}x - 0.5$. Найдем две точки:

• при $x=1$, $y = \frac{1}{2}(1) - 0.5 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• при $x=-1$, $y = \frac{1}{2}(-1) - 0.5 = -1$. Точка $(-1; -1)$.

2. Для второго уравнения $y - x = 1$ получаем $y = x + 1$. Найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• при $x=-1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1; 0)$.

3. Построим графики. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 0.5$ проходит через точки $(1; 0)$ и $(-1; -1)$. Прямая $y = x + 1$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(-1; 0)$.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(-3; -2)$.

Проверка:

$-3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ (Верно)

$-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$ (Верно)

Ответ: $(-3; -2)$

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ 2x - y = -4; \end{cases}$

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x + y = -2$ получаем $y = -x - 2$. Найдем две точки:

• при $x=0$, $y = -0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
• при $x=-2$, $y = -(-2) - 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

2. Для второго уравнения $2x - y = -4$ получаем $-y = -2x - 4$, то есть $y = 2x + 4$. Найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 2(0) + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• при $x=-2$, $y = 2(-2) + 4 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

3. Построим графики. Прямая $y = -x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(-2; 0)$. Прямая $y = 2x + 4$ проходит через точки $(0; 4)$ и $(-2; 0)$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(-2; 0)$.

Проверка:

$-2 + 0 = -2$ (Верно)

$2(-2) - 0 = -4$ (Верно)

Ответ: $(-2; 0)$