Номер 13.15, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

13.15 Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 5x - 2y = 9, \\ 7x + 2y = 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} -2x + 3y = 2, \\ 2x - 5y = -10. \end{cases} $

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} 5x - 2y = 9 \\ 7x + 2y = 3 \end{cases} $ графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет являться точка пересечения этих графиков. Оба уравнения являются линейными, поэтому их графики — это прямые линии.

1. Построим график первого уравнения: $5x - 2y = 9$.
Для этого выразим y через x:
$-2y = 9 - 5x$
$2y = 5x - 9$
$y = \frac{5}{2}x - \frac{9}{2}$ или $y = 2.5x - 4.5$.
Для построения прямой найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей:
- при $x = 1$, $y = 2.5 \cdot 1 - 4.5 = -2$. Получаем точку (1, -2).
- при $x = 3$, $y = 2.5 \cdot 3 - 4.5 = 7.5 - 4.5 = 3$. Получаем точку (3, 3).

2. Построим график второго уравнения: $7x + 2y = 3$.
Выразим y через x:
$2y = 3 - 7x$
$y = -\frac{7}{2}x + \frac{3}{2}$ или $y = -3.5x + 1.5$.
Найдем координаты двух точек для этой прямой:
- при $x = 1$, $y = -3.5 \cdot 1 + 1.5 = -2$. Получаем точку (1, -2).
- при $x = -1$, $y = -3.5 \cdot (-1) + 1.5 = 3.5 + 1.5 = 5$. Получаем точку (-1, 5).

3. Построим обе прямые на координатной плоскости. Прямая $y = 2.5x - 4.5$ проходит через точки (1, -2) и (3, 3). Прямая $y = -3.5x + 1.5$ проходит через точки (1, -2) и (-1, 5).
Мы видим, что обе прямые проходят через точку (1, -2), следовательно, это и есть точка их пересечения.

Ответ: (1, -2)

Решим графически систему уравнений $ \begin{cases} -2x + 3y = 2 \\ 2x - 5y = -10 \end{cases} $. Для этого так же построим графики этих линейных уравнений и найдем их точку пересечения.

1. Построим график первого уравнения: $-2x + 3y = 2$.
Выразим y через x:
$3y = 2x + 2$
$y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$.
Найдем две точки для построения прямой:
- при $x = -1$, $y = \frac{2}{3}(-1) + \frac{2}{3} = 0$. Получаем точку (-1, 0).
- при $x = 2$, $y = \frac{2}{3}(2) + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Получаем точку (2, 2).

2. Построим график второго уравнения: $2x - 5y = -10$.
Выразим y через x:
$-5y = -2x - 10$
$5y = 2x + 10$
$y = \frac{2}{5}x + 2$ или $y = 0.4x + 2$.
Найдем две точки для этой прямой:
- при $x = 0$, $y = 0.4 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку (0, 2).
- при $x = 5$, $y = 0.4 \cdot 5 + 2 = 2 + 2 = 4$. Получаем точку (5, 4).

3. Построим обе прямые на координатной плоскости, используя найденные точки. Прямая $y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$ проходит через точки (-1, 0) и (2, 2). Прямая $y = 0.4x + 2$ проходит через точки (0, 2) и (5, 4).
Точка пересечения этих двух прямых является решением системы. На графике видно, что прямые пересекаются в точке (5, 4).
Для точности выполним проверку, подставив координаты точки (5, 4) в оба уравнения системы:
$-2(5) + 3(4) = -10 + 12 = 2$. Верно.
$2(5) - 5(4) = 10 - 20 = -10$. Верно.

Ответ: (5, 4)