Номер 13.10, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Решите графически систему уравнений:

13.10

а) $\begin{cases} y = x, \\ y = 3x - 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -3x, \\ y = 3 - 4x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 5x, \\ y = -2x + 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -\frac{1}{4}x, \\ y = x - 5. \end{cases}$

а)

Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} y = x \\ y = 3x - 4 \end{cases} $ необходимо построить графики каждой функции в одной системе координат.

1. Построим график функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для построения достаточно двух точек. Возьмем точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

2. Построим график функции $y = 3x - 4$. Это также прямая. Найдем координаты двух точек для ее построения:
- при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Точка $(1, -1)$.
- при $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Построив обе прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения являются решением системы. Из наших вычислений видно, что точка $(2, 2)$ принадлежит обоим графикам.

Проверим найденное решение, подставив значения в исходные уравнения:
$2 = 2$ (верно)
$2 = 3 \cdot 2 - 4 \implies 2 = 6 - 4 \implies 2 = 2$ (верно)

Ответ: $(2, 2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -3x \\ y = 3 - 4x \end{cases} $

Построим графики функций $y = -3x$ и $y = 3 - 4x$ на одной координатной плоскости.

1. График функции $y = -3x$ — прямая, проходящая через начало координат. Найдем вторую точку:
- при $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 = -3$. Точка $(1, -3)$.
Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

2. График функции $y = 3 - 4x$ — также прямая. Найдем две точки для ее построения:
- при $x = 0$, $y = 3 - 4 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- при $x = 1$, $y = 3 - 4 \cdot 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Построив графики на координатной плоскости, найдем их точку пересечения. Чтобы найти точные координаты, можно приравнять правые части уравнений: $-3x = 3 - 4x$, откуда $x = 3$. Тогда $y = -3 \cdot 3 = -9$.

Точка пересечения графиков — $(3, -9)$.

Проверка:
Для первого уравнения: $-9 = -3 \cdot 3$ (верно).
Для второго уравнения: $-9 = 3 - 4 \cdot 3 \implies -9 = 3 - 12 \implies -9 = -9$ (верно).

Ответ: $(3, -9)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = 5x \\ y = -2x + 7 \end{cases} $

Решим систему графически, построив графики обеих функций в одной системе координат.

1. Построим график функции $y = 5x$. Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем вторую точку:
- при $x = 1$, $y = 5 \cdot 1 = 5$. Точка $(1, 5)$.
Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 5)$.

2. Построим график функции $y = -2x + 7$. Это прямая. Найдем две точки:
- при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.
- при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 7 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Из расчетов видно, что точка $(1, 5)$ принадлежит обоим графикам. Следовательно, это и есть их точка пересечения.

Проверка:
Для первого уравнения: $5 = 5 \cdot 1$ (верно).
Для второго уравнения: $5 = -2 \cdot 1 + 7 \implies 5 = 5$ (верно).

Ответ: $(1, 5)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{1}{4}x \\ y = x - 5 \end{cases} $

Для графического решения построим графики обеих линейных функций на одной координатной плоскости.

1. Построим график функции $y = -\frac{1}{4}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x$, кратное 4, чтобы получить целое значение $y$:
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. Точка $(4, -1)$.
Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$.

2. Построим график функции $y = x - 5$. Это прямая. Найдем две точки:
- при $x = 0$, $y = 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
- при $x = 4$, $y = 4 - 5 = -1$. Точка $(4, -1)$.

Заметив, что точка $(4, -1)$ является общей для обоих графиков, мы определяем ее как точку пересечения.

Проверка:
Для первого уравнения: $-1 = -\frac{1}{4} \cdot 4 \implies -1 = -1$ (верно).
Для второго уравнения: $-1 = 4 - 5 \implies -1 = -1$ (верно).

Ответ: $(4, -1)$.